Encontre a solução particular da EDO:
y^{\prime \prime}+2 y+y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução particular da equação diferencial ordinária não homogênea
y'' + 2y + y = e^{-x}.
Informações relevantes dadas:
\text{que é }y'' + 3y = e^{-x},é
ou seja, uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante \,e^{-x}. A tarefa é achar uma solução particular y_p(x) que satisfaça a equação inteira (não precisamos, aqui, das constantes da solução geral).

Passo 2

Antes de buscar a solução particular, identificamos a equação homogênea associada (útil para checar ressonância):
y'' + 3y = 0.
Para resolver homogênea, usamos a substituição padrão y=e^{rx}. Substituindo,
r^2 e^{rx} + 3 e^{rx} = 0 \quad\Rightarrow\quad (r^2+3)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^2+3=0.
Suas raízes são
r=\pm i\sqrt{3}.
Portanto a solução geral da homogênea (complementar) é
y_c(x)=C_1\cos(\sqrt{3}\,x)+C_2\sin(\sqrt{3}\,x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Isso é apenas para referência — precisamos disso para decidir o tipo de tentativa para y_p.)

Passo 3

Vou explicar o método de coeficientes a determinar (muito usado em provas): quando o lado direito é uma função simples como e^{\alpha x}, polinômios, senos/cossenos ou produto deles, tentamos uma solução particular y_p da mesma forma (por exemplo A e^{\alpha x} para uma exponencial). Porém, se \alpha é raiz da equação característica (ressonância), multiplicamos a tentativa por x a uma potência suficiente para eliminar a ressonância.
No nosso caso o forçante é \,e^{-x}, isto é \alpha=-1. Precisamos checar se -1 é raiz da característica r^2+3=0. Como (-1)^2+3=1+3=4\neq0, não há ressonância. Então a tentativa mais simples é
y_p(x)=A e^{-x},
onde A é uma constante a determinar.

Passo 4

Calcule as derivadas de y_p:
y_p'(x) = -A e^{-x},
y_p''(x) = A e^{-x}.
Substitua na equação y''+3y=e^{-x}:
y_p''+3y_p = A e^{-x} + 3\bigl(A e^{-x}\bigr) = 4A e^{-x}.
Para que isso iguale o lado direito e^{-x} precisamos de
4A e^{-x} = e^{-x}.
Como e^{-x}\neq0 para todo x, podemos cancelar e^{-x} e obter
4A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Com A=\tfrac{1}{4} obtemos a solução particular buscada:
y_p(x)=\tfrac{1}{4}e^{-x}.
Se quiser, a solução geral da EDO seria y(x)=y_c(x)+y_p(x), i.e.
y(x)=C_1\cos(\sqrt{3}\,x)+C_2\sin(\sqrt{3}\,x)+\tfrac{1}{4}e^{-x},
mas como o enunciado pediu apenas a solução particular, ficamos com y_p acima.

Resposta

y_p(x)=\tfrac{1}{4}e^{-x}

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