Encontre a solução particular da EDO:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução particular da equação diferencial ordinária não homogênea
Informações relevantes dadas:
ou seja, uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
. A tarefa é achar uma solução particular
que satisfaça a equação inteira (não precisamos, aqui, das constantes da solução geral).
Passo 2
Antes de buscar a solução particular, identificamos a equação homogênea associada (útil para checar ressonância):
Para resolver homogênea, usamos a substituição padrão
. Substituindo,
Como
, obtemos a equação característica
Suas raízes são
Portanto a solução geral da homogênea (complementar) é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Isso é apenas para referência — precisamos disso para decidir o tipo de tentativa para
.)
Passo 3
Vou explicar o método de coeficientes a determinar (muito usado em provas): quando o lado direito é uma função simples como
, polinômios, senos/cossenos ou produto deles, tentamos uma solução particular
da mesma forma (por exemplo
para uma exponencial). Porém, se
é raiz da equação característica (ressonância), multiplicamos a tentativa por
a uma potência suficiente para eliminar a ressonância.
No nosso caso o forçante é
, isto é
. Precisamos checar se
é raiz da característica
. Como
, não há ressonância. Então a tentativa mais simples é
onde
é uma constante a determinar.
Passo 4
Calcule as derivadas de
:
Substitua na equação
:
Para que isso iguale o lado direito
precisamos de
Como
para todo
, podemos cancelar
e obter
Passo 5
Com
obtemos a solução particular buscada:
Se quiser, a solução geral da EDO seria
, i.e.
mas como o enunciado pediu apenas a solução particular, ficamos com
acima.