Calcule \iiint_{Q} d V, sendo Q a casca esférica dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\iiint_{Q} dV
onde Q é a casca esférica entre as esferas de raio 2 e raio 3, dadas por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
O que precisamos aqui é calcular o volume desse sólido, e a maneira mais direta é usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as substituições
x = r\sin\varphi\cos\theta, \quad y = r\sin\varphi\sin\theta, \quad z = r\cos\varphi,
com r\ge0, \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Na casca esférica r varia de 2 a 3, \varphi de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi.

Passo 3

Escrevendo a integral em esféricas:
\iiint_{Q}dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=2}^{3} r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.
Vamos integrar primeiro em r:
\int_{r=2}^{3}r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{2}^{3} = \frac{3^{3}-2^{3}}{3} = \frac{27-8}{3} = \frac{19}{3}.

Passo 4

Em seguida integramos em \varphi e \theta. Note que
\int_{\varphi=0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = 2 \quad\text{e}\quad \int_{\theta=0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Multiplicando todos os fatores:
\iiint_{Q}dV = \frac{19}{3}\times 2\times 2\pi = \frac{76}{3}\,\pi.

Resposta

\iiint_{Q}dV = \frac{76}{3}\,\pi.

Exercícios relacionados