Calcule a área da região limitada pelas retas 2 x-3 y=0, x+y=5 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas retas
2x - 3y = 0,\quad x + y = 5,\quad y = 0
Isso é um triângulo no plano. Para encontrar sua área, vamos:
1. Determinar os vértices obtendo as interseções dessas retas.
2. Calcular a área usando a fórmula de área de triângulo (base \times altura / 2).

Passo 2

Vamos achar as interseções duas a duas:
  • Interseção de y=0 com 2x - 3y = 0: substituindo y=0 em 2x-3y=0 2x=0, logo x=0. Vértice (0,0).
  • Interseção de y=0 com x + y = 5: substituindo y=0 em x+y=5 x=5. Vértice (5,0).
  • Interseção de 2x - 3y = 0 com x + y = 5: da primeira y=\tfrac{2x}{3}. Substituindo em x + y = 5
x + \frac{2x}{3} = 5 \;\Longrightarrow\; \frac{5x}{3}=5 \;\Longrightarrow\; x=3,
então y=\tfrac{2\cdot3}{3}=2. Vértice (3,2).

Passo 3

No triângulo com vértices (0,0), (5,0) e (3,2), a base sobre y=0 tem comprimento
\text{base}=5-0=5
e a altura (distância vertical de (3,2) até y=0) é
\text{altura}=2.
Assim, a área vale
\text{Área} = \frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{altura} = \frac{1}{2}\times 5 \times 2 =5.Á

Resposta

A área da região é 5.

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