Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados:
f(x, y, z)=y^{2}+z e S o sólido determinado por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla da função f(x,y,z)=y^{2}+z sobre o sólido S definido por
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=y^{2}+z.
  • A região de integração S é o conjunto dos pontos (x,y,z) que satisfazem a desigualdade acima.
  • A tarefa é calcular \displaystyle \iiint_{S} (y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz.

Passo 2

Primeiro vamos entender geometricamente a região S. Para isso fazemos uma manipulação algébrica da desigualdade dada: escrevemos a expressão quadrática em x completando quadrado. Começamos com
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4x.
Passo a passo de completar o quadrado em x:
x^{2}-4x + y^{2}+z^{2} \leq 0,
(x-2)^{2}-4 + y^{2}+z^{2} \leq 0,
(x-2)^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4.
Isso mostra que S é a bola (esfera sólida) de centro (2,0,0) e raio 2. Para facilitar a integração vamos deslocar o eixo x para o centro da bola: definimos a nova variável
u = x-2.
No novo sistema de coordenadas (u,y,z) a bola S é simplesmente
u^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4,
ou seja, a bola de raio 2 centrada na origem do sistema (u,y,z).

Passo 3

Expressando a função em termos de (u,y,z): como x=u+2 e a função original é f(x,y,z)=y^{2}+z, essa função em coordenadas deslocadas continua sendo
f(u,y,z)=y^{2}+z.
Observação importante (simetria): a região agora é uma bola centrada na origem em (u,y,z). Essa bola é simétrica em relação ao plano z=0. Portanto, a integral de z sobre essa bola é zero, porque para cada ponto (u,y,z) existe o ponto (u,y,-z) na região com o mesmo valor de y^{2} mas com z de sinal oposto; formalmente,
\iiint_{u^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4} z\,dV = 0.
Então a integral total reduz-se a
\iiint_{S}(y^{2}+z)\,dV = \iiint_{B}(y^{2})\,dV + \iiint_{B} z\,dV = \iiint_{B} y^{2}\,dV + 0 = \iiint_{B} y^{2}\,dV,
onde B é a bola de raio 2 centrada na origem em (u,y,z).

Passo 4

Para calcular \displaystyle \iiint_{B} y^{2}\,dV usamos uma propriedade de simetria dos termos quadráticos numa bola centrada na origem: por simetria
\iiint_{B} u^{2}\,dV = \iiint_{B} y^{2}\,dV = \iiint_{B} z^{2}\,dV.
Somando as três igualdades obtemos
\iiint_{B} (u^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = 3\iiint_{B} y^{2}\,dV.
Mas u^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} (o quadrado da distância radial). Logo
\iiint_{B} y^{2}\,dV = \frac{1}{3}\iiint_{B} \rho^{2}\,dV.
Então basta calcular \displaystyle \iiint_{B} \rho^{2}\,dV.

Passo 5

Vamos calcular \displaystyle \iiint_{B} \rho^{2}\,dV usando coordenadas esféricas centradas na origem (u,y,z). Em coordenadas esféricas definimos:
  • \rho = distância radial ao origem, isto é \rho=\sqrt{u^{2}+y^{2}+z^{2}},
  • \varphi = ângulo polar (ângulo entre o vetor posição e o eixo \emph{u}),
  • \theta = ângulo azimutal no plano (y,z).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
As variáveis variam em
0\le \rho \le 2,\qquad 0\le \varphi \le \pi,\qquad 0\le \theta \le 2\pi.
Então
\iiint_{B} \rho^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} \rho^{2}\cdot \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2} \rho^{4}\,d\rho\right).
Calculamos cada integral separadamente:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi} = 2,
\int_{0}^{2} \rho^{4}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.
Multiplicando:
\iiint_{B} \rho^{2}\,dV = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{32}{5} = \frac{128\pi}{5}.

Passo 6

Voltando à relação do Passo 4, temos
\iiint_{B} y^{2}\,dV = \frac{1}{3}\iiint_{B} \rho^{2}\,dV = \frac{1}{3}\cdot \frac{128\pi}{5} = \frac{128\pi}{15}.
Como a contribuição de z foi zero (Passo 3), concluímos que a integral pedida é \dfrac{128\pi}{15}.

Resposta

\dfrac{128\pi}{15}

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