Calcule a
para a
e o
dados:
e
o sólido determinado por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla da função
sobre o sólido
definido por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a integrar é
. - A região de integração
é o conjunto dos pontos que satisfazem a desigualdade acima. - A tarefa é calcular
.
Passo 2
Primeiro vamos entender geometricamente a região
. Para isso fazemos uma manipulação algébrica da desigualdade dada: escrevemos a expressão quadrática em
completando quadrado. Começamos com
Passo a passo de completar o quadrado em
:
Isso mostra que
é a bola (esfera sólida) de centro
e raio
. Para facilitar a integração vamos deslocar o eixo
para o centro da bola: definimos a nova variável
No novo sistema de coordenadas
a bola
é simplesmente
ou seja, a bola de raio
centrada na origem do sistema
.
Passo 3
Expressando a função em termos de
: como
e a função original é
, essa função em coordenadas deslocadas continua sendo
Observação importante (simetria): a região agora é uma bola centrada na origem em
. Essa bola é simétrica em relação ao plano
. Portanto, a integral de
sobre essa bola é zero, porque para cada ponto
existe o ponto
na região com o mesmo valor de
mas com
de sinal oposto; formalmente,
Então a integral total reduz-se a
onde
é a bola de raio
centrada na origem em
.
Passo 4
Para calcular
usamos uma propriedade de simetria dos termos quadráticos numa bola centrada na origem: por simetria
Somando as três igualdades obtemos
Mas
(o quadrado da distância radial). Logo
Então basta calcular
.
Passo 5
Vamos calcular
usando coordenadas esféricas centradas na origem
. Em coordenadas esféricas definimos:
-
= distância radial ao origem, isto é , -
= ângulo polar (ângulo entre o vetor posição e o eixo \emph{u}), -
= ângulo azimutal no plano .
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
As variáveis variam em
Então
Calculamos cada integral separadamente:
Multiplicando:
Passo 6
Voltando à relação do Passo 4, temos
Como a contribuição de
foi zero (Passo 3), concluímos que a integral pedida é
.