Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados: f(x, y, z)=z e S o sólido formado pelos pontos interiores ao cone z=\sqrt{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}} e interiores à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, usando coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{S} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
onde f(x,y,z)=z e S é o sólido formado pelos pontos interiores ao cone
z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e interiores à esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Informações relevantes fornecidas:
A função integranda é f(x,y,z)=z.
A região S é a interseção do interior da esfera de raio 2 centrada na origem (pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 implica raio 2) com o interior do cone dado por z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O enunciado pede explicitamente para usar coordenadas esféricas.
Passo 2
Vou explicar as coordenadas esféricas e o elemento de volume — passo a passo, como se eu estivesse escrevendo isso na prova.
Definição de coordenadas esféricas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
\rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0),
\varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, a “colatitude”), com 0\le\varphi\le\pi,
\theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\theta<2\pi.
Elemento de volume em coordenadas esféricas:
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação rápida do porquê: ao transformar dx\,dy\,dz para (\rho,\varphi,\theta) aparece o fator Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi, que mede como volumes pequenos se expandem nessas coordenadas (produto da área da esfera de raio \rho por um pequeno arco em \varphi).
Passo 3
Transformo a função integranda para coordenadas esféricas.
Como z=\rho\cos\varphi, a função f(x,y,z)=z vira
f(\rho,\varphi,\theta)=\rho\cos\varphi.
Passo 4
Agora determine os limites da região S em coordenadas esféricas, usando as superfícies fornecidas.
Esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4. Em esféricas isso é simplesmente
\rho=2,
pois \rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Cone z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em esféricas substituo z=\rho\cos\varphi e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi. Assim:
Com o fator 4 que apareceu após a integração em \rho, a parte angular \varphi contribui com
4\cdot\frac{1}{8}.
Passo 8
Agora integro em \theta. Como não há dependência em \theta, a integral é simplesmente multiplicar por 2\pi. Reunindo tudo tenho o resultado em forma de produto: