Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados:
f(x, y, z)=z e S o sólido formado pelos pontos interiores ao cone z=\sqrt{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}} e interiores à esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{S} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
onde f(x,y,z)=z e S é o sólido formado pelos pontos interiores ao cone
z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e interiores à esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é f(x,y,z)=z.
  • A região S é a interseção do interior da esfera de raio 2 centrada na origem (pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 implica raio 2) com o interior do cone dado por z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O enunciado pede explicitamente para usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Vou explicar as coordenadas esféricas e o elemento de volume — passo a passo, como se eu estivesse escrevendo isso na prova.
Definição de coordenadas esféricas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0),
  • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, a “colatitude”), com 0\le\varphi\le\pi,
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\theta<2\pi.
Elemento de volume em coordenadas esféricas:
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação rápida do porquê: ao transformar dx\,dy\,dz para (\rho,\varphi,\theta) aparece o fator Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi, que mede como volumes pequenos se expandem nessas coordenadas (produto da área da esfera de raio \rho por um pequeno arco em \varphi).

Passo 3

Transformo a função integranda para coordenadas esféricas.
Como z=\rho\cos\varphi, a função f(x,y,z)=z vira
f(\rho,\varphi,\theta)=\rho\cos\varphi.

Passo 4

Agora determine os limites da região S em coordenadas esféricas, usando as superfícies fornecidas.
  1. Esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4. Em esféricas isso é simplesmente
\rho=2,
pois \rho^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  1. Cone z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em esféricas substituo z=\rho\cos\varphi e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi. Assim:
\rho\cos\varphi = \sqrt{3}\,\rho\sin\varphi.
Se \rho>0 posso dividir por \rho e obtenho
\cos\varphi = \sqrt{3}\sin\varphi.
Passo a passo para isolar \varphi:
\tan\varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Logo
\varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)=\frac{\pi}{6}.
Agora preciso decidir qual intervalo de \varphi corresponde ao “interior do cone”. A desigualdade para pontos interiores ao cone é
z \ge \sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}},
ou seja
\rho\cos\varphi \ge \sqrt{3}\rho\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi \ge \sqrt{3}\sin\varphi.
Isto equivale a \tan\varphi \le 1/\sqrt{3}, portanto
0 \le \varphi \le \frac{\pi}{6}.
(geometricamente: o interior do cone é a região ao redor do eixo +z até a superfície do cone.)
Finalmente, \theta percorre todo o círculo:
0 \le \theta \le 2\pi.
Resumo dos limites:
0\le \theta \le 2\pi,\quad 0\le \varphi \le \frac{\pi}{6},\quad 0\le \rho \le 2.

Passo 5

Montagem da integral tripla em coordenadas esféricas.
O integrando convertido e o elemento de volume dão
f\,dV = (\rho\cos\varphi)\cdot(\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta)=\rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Portanto a integral é
\iiint_{S} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{2} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Faço a integral em \rho primeiro (é a parte mais simples porque separa das variáveis angulares).
Integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{4}}{4}-0=\frac{16}{4}=4.
Portanto a integral reduz para
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6} 4\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Faço agora a integral em \varphi. Vou explicar claramente cada passo.
A integral em \varphi é
\int_{0}^{\pi/6}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Uma forma direta: use a substituição u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\,d\varphi. Assim
\int_{0}^{\pi/6}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\int_{u(0)}^{u(\pi/6)} u\,du=\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{\sin(\pi/6)}=\frac{\sin^{2}(\pi/6)}{2}-0.
Como \sin(\pi/6)=\tfrac{1}{2}, temos \sin^{2}(\pi/6)=\tfrac{1}{4}. Logo
\int_{0}^{\pi/6}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.
Com o fator 4 que apareceu após a integração em \rho, a parte angular \varphi contribui com
4\cdot\frac{1}{8}.

Passo 8

Agora integro em \theta. Como não há dependência em \theta, a integral é simplesmente multiplicar por 2\pi. Reunindo tudo tenho o resultado em forma de produto:
\Bigl(4\cdot\frac{1}{8}\Bigr)\cdot\Bigl(2\pi\Bigr)=4\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{8}.

Resposta

\pi

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