Calcule a
para a
e o
dados:
sendo o sólido dos pontos interiores ao cilindro
, limitado pela esfera
. Resolva usando coordenadas cilíndricas e depois resolva usando coordenadas esféricas.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos deu.
- Pede-se calcular a integral tripla
com . - A região
é o sólido formado pelos pontos que estão: - dentro do cilindro
(isto é, com projeção radial ), e - limitados pela esfera
(esfera de raio ).
- dentro do cilindro
- Pergunta: calcular a integral usando (i) coordenadas cilíndricas e (ii) coordenadas esféricas.
- Informação útil retirada do enunciado: o raio do cilindro é
; o raio da esfera é . Não há outras restrições.
Passo 2
Noção e fórmulas de coordenadas cilíndricas (aula rápida e intuitiva).
- Coordenadas cilíndricas:
- O elemento de volume vale
Vou explicar: ao passar de para ocorre um fator Jacobiano igual a porque um pequeno retângulo em tem área . - A função
permanece nas coordenadas cilíndricas (não depende de nem de ). - Limites na região
: -
percorre todo o círculo: -
fica entre e o raio do cilindro: (porque estamos dentro do cilindro.) - Para cada par
fixo, é limitado pela esfera . Em cilindricas isso é , então
-
Passo 3
Montagem da integral em coordenadas cilíndricas e simplificação inicial.
- A integral vira
- Primeiro avalio a integral em
, que é simples e usa simetria (função é par): - Substituindo de volta:
Passo 4
Cálculo da integral radial (troca de variável fácil).
- Faço a substituição
. Então ou . - Quando
temos . Quando temos . - A integral torna-se
- Inverto os limites para retirar o sinal:
- Simplificando os fatores:
- Agora computo
e : - Portanto
Passo 5
Agora coordenadas esféricas — definição, Jacobiano e tradução da região (aula rápida).
- Coordenadas esféricas usuales:
- O elemento de volume é
(o fator é o Jacobiano: área da esfera de raio vezes .) - A função
fica - As duas superfícies que limitam
em esféricas: - Esfera:
. - Cilindro
vira , ou i.e.
- Esfera:
- Para um dado
, o máximo permitido é o menor entre (esfera) e (cilindro). Precisamos entender para quais cada um domina. - Compare
com : se e somente se , isto é . Então: - Para
: a esfera ( ) é a fronteira exterior. - Para
: o cilindro ( ) corta antes da esfera, então .
- Para
-
varia sempre de a .
Passo 6
Montagem da integral em esféricas e cálculo (passo a passo).
- A integral é
onde - Simplificando o integrando:
. - Faço a integral em
primeiro: - Assim
- Agora uso a divisão em dois blocos (pequenos polos onde a esfera domina, e a região equatorial onde o cilindro domina). Escrevo explicitamente:
Passo 7
Avaliação dos dois termos em esféricas (detalhes de cálculo e substituições).
-
Primeiro termo (pólos):
. Então Faço a substituição, . Quando temos ; quando temos . Portanto -
Segundo termo (faixa equatorial): simplifico a potênciaentão o integrando é
.
LogoNote queFaço a substituição . Então , e o integrando se transforma: Os limites:e . Assim Portanto
Passo 8
Soma dos termos em esféricas e verificação com o método cilíndrico.
- Somando
: - Factorizando:
- Isto coincide exatamente com o resultado obtido por coordenadas cilíndricas, como deve ser.