Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados:
f(x, y, z)=1, S limitado por x^{2}+y^{2}=2 x e z^{2}=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{S} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
quando f(x,y,z)=1 e S é o sólido limitado pelas superfícies
x^{2}+y^{2}=2x
e
z^{2}=2x.
Ou seja, estamos a calcular o volume do sólido S. Informações relevantes dadas:
  • A curva x^{2}+y^{2}=2x é um cilindro circular (independente de z); em coordenadas cartesianas essa equação é o círculo (x-1)^{2}+y^{2}=1 no plano xy.
  • A superfície z^{2}=2x corresponde às duas folhas z=\pm\sqrt{2x}; para que \sqrt{2x} seja real precisamos de x\ge 0.
  • O sólido S é a região cujo projecção no plano xy é o disco interno ao círculo (x-1)^{2}+y^{2}\le 1, e para cada ponto (x,y) desse disco o eixo z varia entre -\sqrt{2x} e +\sqrt{2x}.

Passo 2

Escolha do método: como a fronteira na direção x,y é um círculo deslocado, é natural usar coordenadas polares no plano xy porque em polares a equação do disco fica simples. Lembre-se das transformações e do jacobiano:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área planar é
dA = r\,dr\,d\theta.
Em coordenadas polares as integrais em x,y ficam mais simples quando a região é um círculo (mesmo deslocado em relação à origem, neste caso a equação torna-se simples).

Passo 3

Reescrever as fronteiras em coordenadas polares.
Para o círculo x^{2}+y^{2}=2x:
r^{2}=2r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad r=2\cos\theta,
onde usamos r\ge 0. Para que r=2\cos\theta seja não negativo precisamos de \cos\theta\ge 0, isto é \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Assim a projeção D no plano xy é descrita por
0\le r\le 2\cos\theta,\qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Para z^{2}=2x escrevemos x=r\cos\theta, obtendo os limites em z:
z=\pm\sqrt{2x}=\pm\sqrt{2r\cos\theta}.
Logo, para cada (r,\theta) em D o z varia entre -\sqrt{2r\cos\theta} e +\sqrt{2r\cos\theta}.

Passo 4

Montar a integral tripla como volume. Como f\equiv 1, o integrando é 1 e o comprimento em z é 2\sqrt{2r\cos\theta}. Podemos integrar primeiro em z (topo menos fundo) e depois em r,\theta. Assim:
\iiint_{S}1\,dV=\iint_{D}\Big(\int_{-\sqrt{2r\cos\theta}}^{\sqrt{2r\cos\theta}} 1\,dz\Big)\,dA =\iint_{D} 2\sqrt{2r\cos\theta}\,dA.
Agora trocar para polares com dA=r\,dr\,d\theta:
\iiint_{S}1\,dV=\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2\cos\theta} 2\sqrt{2r\cos\theta}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Simplificar o integrando e calcular a integral em r.
Primeiro escrevemos de forma explícita:
2\sqrt{2r\cos\theta}\; r = 2\sqrt{2}\,(r\cos\theta)^{1/2}\, r = 2\sqrt{2}\; r^{3/2}\,(\cos\theta)^{1/2}.
Portanto
\iiint_{S}1\,dV=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{2\cos\theta} 2\sqrt{2}\; r^{3/2}(\cos\theta)^{1/2}\,dr\,d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{2\cos\theta} r^{3/2}\,dr = \left[\frac{2}{5}r^{5/2}\right]_{0}^{2\cos\theta}=\frac{2}{5}(2\cos\theta)^{5/2}.
Multiplicando pelo fator exterior:
2\sqrt{2}\,(\cos\theta)^{1/2}\cdot\frac{2}{5}(2\cos\theta)^{5/2} = \frac{4\sqrt{2}}{5}\,(2\cos\theta)^{5/2}(\cos\theta)^{1/2}.
Agora combinar potências:
(2\cos\theta)^{5/2}(\cos\theta)^{1/2}=2^{5/2}(\cos\theta)^{3},
e \sqrt{2}\cdot 2^{5/2}=2^{1/2+5/2}=2^{3}=8. Assim o resultado após a integração em r é
\frac{4\sqrt{2}}{5}\cdot 2^{5/2}(\cos\theta)^{3}=\frac{4}{5}\cdot 8\,(\cos\theta)^{3}=\frac{32}{5}\cos^{3}\theta.
Logo a integral reduz-se a
\iiint_{S}1\,dV=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{32}{5}\cos^{3}\theta\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \theta. Note que \cos^{3}\theta é função par, logo
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=2\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta.
Calcule \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta usando a substituição u=\sin\theta (ou a identidade \cos^{3}\theta=\cos\theta(1-\sin^{2}\theta)):
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta(1-\sin^{2}\theta)\,d\theta =\left[\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}\right]_{0}^{\pi/2}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{32}{5} obtemos o volume:
\iiint_{S}1\,dV=\frac{32}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{128}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{128}{15}

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