Calcule a
para a
e o
dados:
limitado por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
quando
e
é o sólido limitado pelas superfícies
e
Ou seja, estamos a calcular o volume do sólido
. Informações relevantes dadas:
- A curva
é um cilindro circular (independente de ); em coordenadas cartesianas essa equação é o círculo no plano . - A superfície
corresponde às duas folhas ; para que seja real precisamos de . - O sólido
é a região cujo projecção no plano é o disco interno ao círculo , e para cada ponto desse disco o eixo varia entre e .
Passo 2
Escolha do método: como a fronteira na direção
é um círculo deslocado, é natural usar coordenadas polares no plano
porque em polares a equação do disco fica simples. Lembre-se das transformações e do jacobiano:
e o elemento de área planar é
Em coordenadas polares as integrais em
ficam mais simples quando a região é um círculo (mesmo deslocado em relação à origem, neste caso a equação torna-se simples).
Passo 3
Reescrever as fronteiras em coordenadas polares.
Para o círculo
:
onde usamos
. Para que
seja não negativo precisamos de
, isto é
. Assim a projeção
no plano
é descrita por
Para
escrevemos
, obtendo os limites em
:
Logo, para cada
em
o
varia entre
e
.
Passo 4
Montar a integral tripla como volume. Como
, o integrando é 1 e o comprimento em
é
. Podemos integrar primeiro em
(topo menos fundo) e depois em
. Assim:
Agora trocar para polares com
:
Passo 5
Simplificar o integrando e calcular a integral em
.
Primeiro escrevemos de forma explícita:
Portanto
Calcule a integral em
:
Multiplicando pelo fator exterior:
Agora combinar potências:
e
. Assim o resultado após a integração em
é
Logo a integral reduz-se a
Passo 6
Calcular a integral em
. Note que
é função par, logo
Calcule
usando a substituição
(ou a identidade
):
Portanto
Multiplicando pelo fator
obtemos o volume: