Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados:
f(x, y, z)=1, S limitado por z^{2}=x^{2}+y^{2} e x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z, a>0.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral tripla
\iiint_{S} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
onde f(x,y,z)=1 e S é o sólido limitado pelas superfícies
z^{2}=x^{2}+y^{2}
e
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2a z,\qquad a>0.
Portanto a integral é simplesmente o volume do sólido S. As informações relevantes são:
  • a função é f\equiv 1;
  • a superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} é um cone com abertura de 45^\circ (duas nappes, mas veremos qual interessa);
  • a superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=2a z é uma esfera (com centro em (0,0,a) e raio a);
  • queremos o volume do sólido limitado por essas duas superfícies.

Passo 2

Escolho coordenadas esféricas porque as duas superfícies ficam muito simples nessas coordenadas: cones correspondem a um valor fixo de ângulo polar e a esfera será expressa por \rho em função de \varphi. Lembrete das fórmulas das coordenadas esféricas (convencionais):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge 0, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo entre o raio e o eixo z, e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal. O elemento de volume vale
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explico por que isso: a transformação de (\rho,\varphi,\theta) para (x,y,z) tem Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi, que é o fator de escala para volumes (é uma consequência geométrica do alongamento das coordenadas esféricas).

Passo 3

Agora escrevemos as superfícies em esféricas.
Para o cone z^{2}=x^{2}+y^{2} usamos z=\rho\cos\varphi e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi. Assim
\rho^{2}\cos^{2}\varphi=\rho^{2}\sin^{2}\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi.
Isso dá \tan^{2}\varphi=1, logo \varphi=\pi/4 (a outra solução \varphi=3\pi/4 corresponde à nappe inferior do cone, mas a esfera abaixo não aparece aqui — vamos justificar em seguida).
Para a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2a z colocamos \rho^{2}=2a(\rho\cos\varphi), isto é
\rho^{2}=2a\rho\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \rho=2a\cos\varphi,
já que \rho\ge 0. Note que \rho=2a\cos\varphi só é positiva quando \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Isso mostra que a esfera inteira está acima do plano z=0 e só a nappe superior do cone (com \varphi=\pi/4) intersecta a esfera. Portanto o sólido S é a porção da esfera delimitada pelo cone no interior, correspondente a \varphi que vai de 0 até \pi/4.
O contorno de interseção entre cone e esfera ocorre em \varphi=\pi/4 e \rho=2a\cos(\pi/4)=2a/\sqrt{2}=\sqrt{2}\,a. Tudo consistente.

Passo 4

Montamos a integral tripla em esféricas. Como f=1, integrando o elemento de volume:
\iiint_{S} 1\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{2a\cos\varphi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Expliquei antes os limites: \theta cinta toda a volta ( 0 a 2\pi), \varphi vai do eixo z até o cone ( 0 a \pi/4), e para cada \varphi o \rho vai do centro ( 0) até a superfície esférica \rho=2a\cos\varphi.

Passo 5

Calculamos a integral interna em \rho. Temos
\int_{0}^{2a\cos\varphi}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{2a\cos\varphi}=\frac{(2a\cos\varphi)^{3}}{3}=\frac{8a^{3}\cos^{3}\varphi}{3}.
Substituindo no integral obtemos
\iiint_{S}1\,dV = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi/4} \frac{8a^{3}\cos^{3}\varphi}{3}\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 6

Agora a integral em \varphi. Faça a substituição \;u=\cos\varphi\;, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/4 temos u=\cos(\pi/4)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{u=1}^{1/\sqrt{2}} u^{3}(-du) = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} u^{3}\,du = \left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{1/\sqrt{2}}^{1} = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}.
Calculando \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}=\tfrac{1}{4}, obtemos
\int_{0}^{\pi/4}\cos^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}.
Voltando à integral total:
\iiint_{S}1\,dV = \int_{0}^{2\pi}\frac{8a^{3}}{3}\cdot\frac{3}{16}\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{8a^{3}}{16}\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{a^{3}}{2}\,d\theta.

Passo 7

Integramos em \theta:
\iiint_{S}1\,dV = \frac{a^{3}}{2}\cdot\left(2\pi\right) = \pi a^{3}.
Pronto — o volume do sólido S é \pi a^{3}. Você pode checar as etapas: escolha de coordenadas, limites e a substituição u=\cos\varphi são os pontos-chave; nada muito tortuoso, só atenção ao Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi e aos limites de \varphi.

Resposta

\pi a^{3}

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