Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados: f(x, y, z)=1, S limitado por z^{2}=x^{2}+y^{2} e x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z, a>0.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral tripla
\iiint_{S} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
onde f(x,y,z)=1 e S é o sólido limitado pelas superfícies
z^{2}=x^{2}+y^{2}
e
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2a z,\qquad a>0.
Portanto a integral é simplesmente o volume do sólido S. As informações relevantes são:
a função é f\equiv 1;
a superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} é um cone com abertura de 45^\circ (duas nappes, mas veremos qual interessa);
a superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=2a z é uma esfera (com centro em (0,0,a) e raio a);
queremos o volume do sólido limitado por essas duas superfícies.
Passo 2
Escolho coordenadas esféricas porque as duas superfícies ficam muito simples nessas coordenadas: cones correspondem a um valor fixo de ângulo polar e a esfera será expressa por \rho em função de \varphi. Lembrete das fórmulas das coordenadas esféricas (convencionais):
onde \rho\ge 0, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo entre o raio e o eixo z, e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal. O elemento de volume vale
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explico por que isso: a transformação de (\rho,\varphi,\theta) para (x,y,z) tem Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi, que é o fator de escala para volumes (é uma consequência geométrica do alongamento das coordenadas esféricas).
Passo 3
Agora escrevemos as superfícies em esféricas.
Para o cone z^{2}=x^{2}+y^{2} usamos z=\rho\cos\varphi e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi. Assim
Isso dá \tan^{2}\varphi=1, logo \varphi=\pi/4 (a outra solução \varphi=3\pi/4 corresponde à nappe inferior do cone, mas a esfera abaixo não aparece aqui — vamos justificar em seguida).
Para a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2a z colocamos \rho^{2}=2a(\rho\cos\varphi), isto é
já que \rho\ge 0. Note que \rho=2a\cos\varphi só é positiva quando \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Isso mostra que a esfera inteira está acima do plano z=0 e só a nappe superior do cone (com \varphi=\pi/4) intersecta a esfera. Portanto o sólido S é a porção da esfera delimitada pelo cone no interior, correspondente a \varphi que vai de 0 até \pi/4.
O contorno de interseção entre cone e esfera ocorre em \varphi=\pi/4 e \rho=2a\cos(\pi/4)=2a/\sqrt{2}=\sqrt{2}\,a. Tudo consistente.
Passo 4
Montamos a integral tripla em esféricas. Como f=1, integrando o elemento de volume:
Expliquei antes os limites: \theta cinta toda a volta (0 a 2\pi), \varphi vai do eixo z até o cone (0 a \pi/4), e para cada \varphi o \rho vai do centro (0) até a superfície esférica \rho=2a\cos\varphi.
Agora a integral em \varphi. Faça a substituição \;u=\cos\varphi\;, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/4 temos u=\cos(\pi/4)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim
Pronto — o volume do sólido S é \pi a^{3}. Você pode checar as etapas: escolha de coordenadas, limites e a substituição u=\cos\varphi são os pontos-chave; nada muito tortuoso, só atenção ao Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi e aos limites de \varphi.