Calcule a
para a
e o
dados:
limitado pelas superfícies
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
(porque
, a integral tripla é o volume) limitado por três superfícies:
- o paraboloide
, - a superfície cilíndrica (independente de
) , - o plano
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função integranda é
. - O limite em
está entre (plano) e (paraboloide). - A projeção do sólido no plano
(a base ) é dada pelas que satisfazem (a desigualdade acompanha o interior limitado pela curva dada pela igualdade). - Precisamos achar
, isto é, o volume de .
Passo 2
Motivação para mudar de coordenadas: a equação
e o paraboloide
ficam muito mais simples em coordenadas polares (cilíndricas no caso 3D). Em coordenadas polares/ cilíndricas usamos:
onde
e
é o ângulo. O elemento de volume transforma-se como
. Vou explicar: o fator
é o jacobiano da transformação do plano
para
; intuitivamente ele mede a expansão linear da área quando passamos para coordenadas polares.
Passo 3
Transformar a curva lateral
para polares. Substituindo
e
, obtemos:
Isso implica
Como
é apenas a origem, a curva não-trivial satisfaz
com a restrição óbvia
(pois
). Agora precisamos entender para quais
temos
. A função
é não-negativa quando
ou seja, em termos de
:
Portanto a projeção
no plano
são duas “folhas” simétricas, cada uma com
variando em um intervalo de comprimento
e com
variando de
até
.
Passo 4
Montar a integral em coordenadas cilíndricas. O volume é
A integral em
dá simplesmente
. Logo o integrando em
fica
. Assim
Agora substituímos os limites: para cada
em
ou
temos
. Portanto
Passo 5
Calcular a integral interna em
. A primitiva de
em
é
. Avaliando de
até
obtemos:
Portanto o volume reduz-se a uma integral em
:
Passo 6
Calcular a integral em
. Use a identidade trigonométrica
Então cada integral em um intervalo de comprimento
vale
O primeiro termo é
. O segundo termo é nulo porque
tem período
, logo sua integral sobre um intervalo de comprimento
é zero. Assim cada integral vale
. Somando as duas folhas (duas intervalos) obtemos
Substituindo na expressão do volume temos