Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados:
f(x, y, z)=1, S limitado pelas superfícies z=x^{2}+y^{2},\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2} e pelo plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S (porque f(x,y,z)=1, a integral tripla é o volume) limitado por três superfícies:
  • o paraboloide z=x^{2}+y^{2},
  • a superfície cilíndrica (independente de z) \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2},
  • o plano z=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função integranda é f(x,y,z)=1.
  • O limite em z está entre z=0 (plano) e z=x^{2}+y^{2} (paraboloide).
  • A projeção do sólido no plano xy (a base D) é dada pelas (x,y) que satisfazem \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\le x^{2}-y^{2} (a desigualdade acompanha o interior limitado pela curva dada pela igualdade).
  • Precisamos achar \displaystyle \iiint_{S} 1 \,dx\,dy\,dz, isto é, o volume de S.

Passo 2

Motivação para mudar de coordenadas: a equação \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2} e o paraboloide z=x^{2}+y^{2} ficam muito mais simples em coordenadas polares (cilíndricas no caso 3D). Em coordenadas polares/ cilíndricas usamos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo. O elemento de volume transforma-se como dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz. Vou explicar: o fator r é o jacobiano da transformação do plano (x,y) para (r,\theta); intuitivamente ele mede a expansão linear da área quando passamos para coordenadas polares.

Passo 3

Transformar a curva lateral \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2} para polares. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos 2\theta, obtemos:
r^{4} = r^{2}\cos 2\theta.
Isso implica
r^{2}\bigl(r^{2}-\cos 2\theta\bigr)=0.
Como r=0 é apenas a origem, a curva não-trivial satisfaz
r^{2}=\cos 2\theta \quad\text{ou}\quad r=\sqrt{\cos 2\theta},
com a restrição óbvia \cos 2\theta\ge 0 (pois r^{2}\ge 0). Agora precisamos entender para quais \theta temos \cos 2\theta\ge 0. A função \cos 2\theta é não-negativa quando
2\theta \in \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr] + k\pi,
ou seja, em termos de \theta:
\theta \in \bigl[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr]\quad\text{ou}\quad \theta \in \bigl[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\bigr].
Portanto a projeção D no plano xy são duas “folhas” simétricas, cada uma com \theta variando em um intervalo de comprimento \tfrac{\pi}{2} e com r variando de 0 até \sqrt{\cos 2\theta}.

Passo 4

Montar a integral em coordenadas cilíndricas. O volume é
\iiint_{S} 1\,dx\,dy\,dz = \iint_{D}\Bigl(\int_{z=0}^{z=r^{2}} dz\Bigr) r\,dr\,d\theta.
A integral em z dá simplesmente r^{2}-0=r^{2}. Logo o integrando em r,\theta fica r\cdot r^{2}=r^{3}. Assim
\iiint_{S} 1\,dx\,dy\,dz = \iint_{D} r^{3}\,dr\,d\theta.
Agora substituímos os limites: para cada \theta em \bigl[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr] ou \bigl[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\bigr] temos 0\le r\le \sqrt{\cos 2\theta}. Portanto
\iiint_{S} 1\,dx\,dy\,dz = \sum_{\text{intervalos}} \int_{\theta_{\text{inicial}}}^{\theta_{\text{final}}} \left(\int_{0}^{\sqrt{\cos 2\theta}} r^{3}\,dr\right)d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. A primitiva de r^{3} em r é r^{4}/4. Avaliando de 0 até r=\sqrt{\cos 2\theta} obtemos:
\int_{0}^{\sqrt{\cos 2\theta}} r^{3}\,dr = \frac{1}{4}\bigl(\sqrt{\cos 2\theta}\bigr)^{4} = \frac{1}{4}\cos^{2}2\theta.
Portanto o volume reduz-se a uma integral em \theta:
\iiint_{S} 1\,dx\,dy\,dz = \frac{1}{4}\left(\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^{2}2\theta\,d\theta + \int_{3\pi/4}^{5\pi/4}\cos^{2}2\theta\,d\theta\right).

Passo 6

Calcular a integral em \theta. Use a identidade trigonométrica
\cos^{2}2\theta = \frac{1+\cos 4\theta}{2}.
Então cada integral em um intervalo de comprimento \tfrac{\pi}{2} vale
\int_{\text{intervalo}} \cos^{2}2\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{\text{intervalo}} 1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{\text{intervalo}} \cos 4\theta\,d\theta.
O primeiro termo é \tfrac{1}{2}\times(\text{comprimento do intervalo}) = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{4}. O segundo termo é nulo porque \cos 4\theta tem período \tfrac{\pi}{2}, logo sua integral sobre um intervalo de comprimento \tfrac{\pi}{2} é zero. Assim cada integral vale \tfrac{\pi}{4}. Somando as duas folhas (duas intervalos) obtemos
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^{2}2\theta\,d\theta + \int_{3\pi/4}^{5\pi/4}\cos^{2}2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
Substituindo na expressão do volume temos
\iiint_{S} 1\,dx\,dy\,dz = \frac{1}{4}\cdot \frac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

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