(Exercício 1, 2 IV.6, pg180,181) Determine as coordenadas do centro de massa do sólido
com a densidade,
, dada:
é limitado por
constante.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do centro de massa do sólido
quando a densidade é
, com
constante.
Informações dadas (listadas claramente):
- O sólido
é limitado pelas superfícies , , e . - A densidade volumétrica é
. - Queremos as coordenadas
, e do centro de massa de .
Passo 2
Entender a região
e traduzir as superfícies em desigualdades para montar integrais.
- A superfície
dá a borda esquerda, então . - A superfície
dá a borda inferior em , então . - A superfície
indica que, para cada , o varia entre e ; portanto . - A superfície
significa . Como normalmente assumimos (pois e implicam ), temos . - Juntando tudo, para
temos e, para cada , e, para cada , .
Portanto uma descrição conveniente do domínio é
Passo 3
Recordando as fórmulas (aula rápida): para uma densidade
a massa total
e as coordenadas do centro de massa
são
Aqui
é o elemento de volume (no nosso caso
na ordem escolhida). Como
, vamos usar essas fórmulas com essa função.
Passo 4
Calcular a massa
.
Montamos a integral em ordem
:
Integramos primeiramente em
. Como
é constante nessa integração,
Logo
Agora integramos em
:
Assim
Passo 5
Calcular a integral
passo a passo (aula de manipulação algébrica):
Expanda . Então
Expanda
Integramos termo a termo:
Somando:
Calcule a combinação:
. Assim
Voltando:
Passo 6
Calcular
. Aqui a integral do numerador é
.
Monte a integral:
Integrando em
:
Depois em
:
Portanto o numerador é
Calculemos a integral
. Expanda
e multiplique por
:
Integre termo a termo:
Somando:
Calcule a combinação:
. Logo
O numerador para
é então
Logo
Passo 7
Calcular
. O numerador é
.
Monte a integral:
Integrando em
:
Então
Calcule
. Assim o numerador vale
Passo 8
Calcular
. Expanda
e multiplique por
:
Integre cada termo:
Somando:
Calcule a combinação:
. Então
Voltando ao numerador de
:
Logo
Passo 9
Calcular
. O numerador é
.
Monte a integral:
Integrando em
:
Portanto
Mas já calculamos
no passo anterior. Assim o numerador é
Logo