(Exercício 1, 2 IV.6, pg180,181) Determine as coordenadas do centro de massa do sólido S com a densidade, \delta(x, y, z), dada:
S é limitado por x=0, y=0, x+z=a, y=z ; \delta(x, y, z)=k x, k constante.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do centro de massa do sólido S quando a densidade é \delta(x,y,z)=kx, com k constante.
Informações dadas (listadas claramente):
  • O sólido S é limitado pelas superfícies x=0, y=0, x+z=a e y=z.
  • A densidade volumétrica é \delta(x,y,z)=kx.
  • Queremos as coordenadas \bar{x}, \bar{y} e \bar{z} do centro de massa de S.

Passo 2

Entender a região S e traduzir as superfícies em desigualdades para montar integrais.
  • A superfície x=0 dá a borda esquerda, então \,x\ge 0.
  • A superfície y=0 dá a borda inferior em y, então \,y\ge 0.
  • A superfície y=z indica que, para cada z, o y varia entre 0 e z; portanto 0\le y\le z.
  • A superfície x+z=a significa z=a-x. Como normalmente assumimos z\ge 0 (pois y\ge 0 e y\le z implicam z\ge 0), temos 0\le z\le a-x.
  • Juntando tudo, para x temos 0\le x\le a e, para cada x, 0\le z\le a-x e, para cada z, 0\le y\le z.
Portanto uma descrição conveniente do domínio é
0\le x\le a,\qquad 0\le z\le a-x,\qquad 0\le y\le z.

Passo 3

Recordando as fórmulas (aula rápida): para uma densidade \delta(x,y,z) a massa total M e as coordenadas do centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) são
M=\iiint_{S} \delta(x,y,z)\,dV,
\bar{x}=\frac{1}{M}\iiint_{S} x\,\delta(x,y,z)\,dV,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iiint_{S} y\,\delta(x,y,z)\,dV,\qquad \bar{z}=\frac{1}{M}\iiint_{S} z\,\delta(x,y,z)\,dV.
Aqui \,dV é o elemento de volume (no nosso caso dV=dy\,dz\,dx na ordem escolhida). Como \delta(x,y,z)=kx, vamos usar essas fórmulas com essa função.

Passo 4

Calcular a massa M.
Montamos a integral em ordem dy\,dz\,dx:
M=\iiint_{S} kx\,dV = k\int_{x=0}^{a}\int_{z=0}^{a-x}\int_{y=0}^{z} x\,dy\,dz\,dx.
Integramos primeiramente em y. Como x é constante nessa integração,
\int_{y=0}^{z} x\,dy = x\,[y]_{0}^{z}= xz.
Logo
M = k\int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x} xz\,dz\,dx.
Agora integramos em z:
\int_{0}^{a-x} xz\,dz = x\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{a-x} = x\frac{(a-x)^{2}}{2}.
Assim
M = k\int_{0}^{a} \frac{x(a-x)^{2}}{2}\,dx = \frac{k}{2}\int_{0}^{a} x(a-x)^{2}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{a} x(a-x)^{2}\,dx passo a passo (aula de manipulação algébrica):
Expanda (a-x)^{2}=a^{2}-2ax+x^{2}. Então
x(a-x)^{2} = x(a^{2}-2ax+x^{2}) = a^{2}x -2a x^{2} + x^{3}.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{a} a^{2}x\,dx = a^{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{a} = a^{2}\cdot\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{4}}{2},
\int_{0}^{a} -2a x^{2}\,dx = -2a\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a} = -2a\cdot\frac{a^{3}}{3} = -\frac{2a^{4}}{3},
\int_{0}^{a} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{4}}{4}.
Somando:
\int_{0}^{a} x(a-x)^{2}\,dx = a^{4}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right).
Calcule a combinação: \frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4} = \frac{6-8+3}{12}=\frac{1}{12}. Assim
\int_{0}^{a} x(a-x)^{2}\,dx = \frac{a^{4}}{12}.
Voltando:
M = \frac{k}{2}\cdot\frac{a^{4}}{12} = \frac{k a^{4}}{24}.

Passo 6

Calcular \bar{x}=\dfrac{1}{M}\iiint_{S} x\,\delta\,dV. Aqui a integral do numerador é \iiint kx\cdot x\,dV = k\iiint x^{2}\,dV.
Monte a integral:
\iiint_{S} x^{2}\,dV = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x}\int_{0}^{z} x^{2}\,dy\,dz\,dx.
Integrando em y:
\int_{0}^{z} x^{2}\,dy = x^{2}z.
Depois em z:
\int_{0}^{a-x} x^{2}z\,dz = x^{2}\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{a-x} = x^{2}\frac{(a-x)^{2}}{2}.
Portanto o numerador é
k\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{a} x^{2}(a-x)^{2}\,dx.
Calculemos a integral \displaystyle \int_{0}^{a} x^{2}(a-x)^{2}\,dx. Expanda (a-x)^{2}=a^{2}-2ax+x^{2} e multiplique por x^{2}:
x^{2}(a-x)^{2} = a^{2}x^{2} -2a x^{3} + x^{4}.
Integre termo a termo:
\int_{0}^{a} a^{2}x^{2}\,dx = a^{2}\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{a^{5}}{3},
\int_{0}^{a} -2a x^{3}\,dx = -2a\cdot\frac{a^{4}}{4} = -\frac{a^{5}}{2},
\int_{0}^{a} x^{4}\,dx = \frac{a^{5}}{5}.
Somando:
\int_{0}^{a} x^{2}(a-x)^{2}\,dx = a^{5}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right).
Calcule a combinação: \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5} = \frac{10-15+6}{30}=\frac{1}{30}. Logo
\int_{0}^{a} x^{2}(a-x)^{2}\,dx = \frac{a^{5}}{30}.
O numerador para \bar{x} é então
k\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{5}}{30} = \frac{k a^{5}}{60}.
Logo
\bar{x} = \frac{\dfrac{k a^{5}}{60}}{\dfrac{k a^{4}}{24}} = a\cdot\frac{24}{60}=a\cdot\frac{2}{5}=\frac{2a}{5}.

Passo 7

Calcular \bar{y}=\dfrac{1}{M}\iiint_{S} y\,\delta\,dV. O numerador é k\iiint x y\,dV.
Monte a integral:
\iiint_{S} x y\,dV = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x}\int_{0}^{z} x y\,dy\,dz\,dx.
Integrando em y:
\int_{0}^{z} x y\,dy = x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{z} = x\frac{z^{2}}{2}.
Então
\iiint_{S} x y\,dV = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x} x\frac{z^{2}}{2}\,dz\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{a} x\int_{0}^{a-x} z^{2}\,dz\,dx.
Calcule \int_{0}^{a-x} z^{2}\,dz = \frac{(a-x)^{3}}{3}. Assim o numerador vale
\frac{1}{2}\int_{0}^{a} x\cdot\frac{(a-x)^{3}}{3}\,dx = \frac{1}{6}\int_{0}^{a} x(a-x)^{3}\,dx.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int_{0}^{a} x(a-x)^{3}\,dx. Expanda (a-x)^{3}=a^{3}-3a^{2}x+3ax^{2}-x^{3} e multiplique por x:
x(a-x)^{3} = a^{3}x -3a^{2}x^{2} +3a x^{3} - x^{4}.
Integre cada termo:
\int_{0}^{a} a^{3}x\,dx = a^{3}\cdot\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{5}}{2},
\int_{0}^{a} -3a^{2}x^{2}\,dx = -3a^{2}\cdot\frac{a^{3}}{3} = -a^{5},
\int_{0}^{a} 3a x^{3}\,dx = 3a\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{3a^{5}}{4},
\int_{0}^{a} -x^{4}\,dx = -\frac{a^{5}}{5}.
Somando:
\int_{0}^{a} x(a-x)^{3}\,dx = a^{5}\left(\frac{1}{2}-1+\frac{3}{4}-\frac{1}{5}\right).
Calcule a combinação: \frac{1}{2}-1+\frac{3}{4}-\frac{1}{5} = \frac{10-20+15-4}{20}=\frac{1}{20}. Então
\int_{0}^{a} x(a-x)^{3}\,dx = \frac{a^{5}}{20}.
Voltando ao numerador de \bar{y}:
k\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{a^{5}}{20} = \frac{k a^{5}}{120}.
Logo
\bar{y} = \frac{\dfrac{k a^{5}}{120}}{\dfrac{k a^{4}}{24}} = a\cdot\frac{24}{120}=a\cdot\frac{1}{5}=\frac{a}{5}.

Passo 9

Calcular \bar{z}=\dfrac{1}{M}\iiint_{S} z\,\delta\,dV. O numerador é k\iiint x z\,dV.
Monte a integral:
\iiint_{S} x z\,dV = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x}\int_{0}^{z} x z\,dy\,dz\,dx.
Integrando em y:
\int_{0}^{z} x z\,dy = x z\,[y]_{0}^{z} = x z^{2}.
Portanto
\iiint_{S} x z\,dV = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a-x} x z^{2}\,dz\,dx = \int_{0}^{a} x\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{a-x} dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{a} x(a-x)^{3}\,dx.
Mas já calculamos \displaystyle \int_{0}^{a} x(a-x)^{3}\,dx = \frac{a^{5}}{20} no passo anterior. Assim o numerador é
k\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{5}}{20} = \frac{k a^{5}}{60}.
Logo
\bar{z} = \frac{\dfrac{k a^{5}}{60}}{\dfrac{k a^{4}}{24}} = a\cdot\frac{24}{60}=a\cdot\frac{2}{5}=\frac{2a}{5}.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{2a}{5},\frac{a}{5},\frac{2a}{5}\right)

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