(2,0) Calcule \iiint_{E} \sqrt{y^{2}+w^{2}} d y d z d w, onde E é o sólido delimitado pelo parabolóide y=z^{2}+w^{2} e pelo plano y=1 na região onde w \geq 0. (Faça o esboço da região, não use coordenadas cilíndricas e explicite a mudança de coordenadas retangulares convenientes para polares no momento que necessitar!)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede para calcular
\iiint_{E}\sqrt{y^{2}+w^{2}}\;dy\,dz\,dw,
onde E é o sólido limitado pelo paraboloide
y=z^{2}+w^{2}
e pelo plano
y=1,
na região onde w\ge 0.
  • Informações relevantes do enunciado:
    • A superfície inferior do sólido é a superfície paraboloide y=z^{2}+w^{2}.
    • A superfície superior é o plano y=1.
    • A condição w\ge 0 significa que estamos apenas na metade superior do disco projetado no plano (z,w).
    • A projeção do sólido sobre o plano (z,w) é a meia–disco D definida por D=\{(z,w)\mid z^{2}+w^{2}\le 1,\;w\ge 0\}.
  • O que será calculado: o triplo integral da função \sqrt{y^{2}+w^{2}} sobre E. Vou usar a interpretação geométrica da região para escolher a ordem de integração e fazer uma mudança para coordenadas polares no plano (z,w) quando conveniente (conforme pedido pelo enunciado).

Passo 2

Descrever o sólido e montar uma expressão para o integral antes de qualquer mudança de variável.
  • Para um ponto fixo (z,w) na projeção D (meia–disco), a coordenada y varia de baixo para cima de y=z^{2}+w^{2}\quad\text{até}\quad y=1.éPortanto podemos escrever o integral como integral iterada sobre D: \iiint_{E}\sqrt{y^{2}+w^{2}}\;dy\,dz\,dw =\iint_{D}\left(\int_{y=z^{2}+w^{2}}^{1}\sqrt{y^{2}+w^{2}}\;dy\right)dz\,dw.
  • Observação prática: a função a ser integrada depende em y e em w, mas não depende de z diretamente dentro da raiz (aparece z no limite inferior via z^{2}+w^{2}). Ainda assim a expressão acima é uma forma natural para começar.

Passo 3

Escolher uma ordem de integração conveniente. Explicação didática do porquê.
  • Integrar primeiro em y é natural porque os limites em y são simples: de y=z^{2}+w^{2} até y=1.
  • Depois, para a integral dupla sobre D (variáveis z,w), é conveniente usar coordenadas polares no plano (z,w) — isto é, fazer a mudança rectangular-para-polares somente na projeção (z,w), como o enunciado manda explicitar.
  • Motivação prática: a superfície y=z^{2}+w^{2} é mais simples em termos de r^{2}=z^{2}+w^{2}. Portanto usar coordenadas polares em (z,w) simplifica a descrição do domínio de projeção e o jacobiano.

Passo 4

Fazer a integral em y (antiderivada). Ensino da fórmula usada.
  • Vamos calcular a primitiva em y \int \sqrt{y^{2}+a^{2}}\;dy,onde aqui a=w é tratado como constante quando integramos em y.
  • Fórmula padrão (que vale para a constante) é \int \sqrt{y^{2}+a^{2}}\;dy =\frac{1}{2}\Bigl(y\sqrt{y^{2}+a^{2}}+a^{2}\ln\bigl(y+\sqrt{y^{2}+a^{2}}\bigr)\Bigr)+C.Explico por que: pode obter-se por substituição trigonométrica ou por integração por partes; o resultado é essa expressão com raiz e logaritmo (resultado clássico).
  • Aplicando essa primitiva com a=w e avaliando entre y=z^{2}+w^{2} e y=1 obtemos, para cada (z,w), \int_{y=z^{2}+w^{2}}^{1}\sqrt{y^{2}+w^{2}}\;dy =\frac{1}{2}\Bigl[P(1,w)-P(z^{2}+w^{2},w)\Bigr],onde defini P(y,w):=y\sqrt{y^{2}+w^{2}}+w^{2}\ln\bigl(y+\sqrt{y^{2}+w^{2}}\bigr).Ou explicitando: \int_{y=z^{2}+w^{2}}^{1}\sqrt{y^{2}+w^{2}}\;dy =\frac{1}{2}\Bigl(1\cdot\sqrt{1+w^{2}}+w^{2}\ln\bigl(1+\sqrt{1+w^{2}}\bigr)\Bigr)
\qquad\qquad -\frac{1}{2}\Bigl((z^{2}+w^{2})\sqrt{(z^{2}+w^{2})^{2}+w^{2}}+w^{2}\ln\bigl(z^{2}+w^{2}+\sqrt{(z^{2}+w^{2})^{2}+w^{2}}\bigr)\Bigr).

Passo 5

Descrever a projeção D e fazer explicitamente a mudança de coordenadas retangulares para polares no plano (z,w).
  • A projeção D é a meia–disco z^{2}+w^{2}\le 1 com w\ge 0. Em coordenadas polares no plano (z,w) (isto é, usando r,\theta com z=r\cos\theta, w=r\sin\theta), fazemos a mudança: z=r\cos\theta,\qquad w=r\sin\theta.O jacobiano desta mudança é dz\,dw = r\,dr\,d\theta.
  • Como w\ge 0, o ângulo \theta varia entre 0 e \pi. Como o raio no disco vai de 0 a 1, temos r\in[0,1].
  • Observação: aqui não estamos a usar coordenadas cilíndricas 3D; estamos simplesmente usando coordenadas polares no plano (z,w) — exatamente o pedido do enunciado.

Passo 6

Escrever o integral agora em coordenadas polares (r,\theta) e simplificar a expressão.
  • Substituindo z=r\cos\theta e w=r\sin\theta na expressão da integral já com a primitiva em y, e lembrando do fator dz\,dw=r\,dr\,d\theta, obtemos \iiint_{E}\sqrt{y^{2}+w^{2}}\;dy\,dz\,dw =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1}\left(\int_{y=r^{2}}^{1}\sqrt{y^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta}\;dy\right) r\,dr\,d\theta.
  • Substituindo a primitiva em y (fórmula do Passo 4) e organizando, obtemos uma expressão explícita: \iiint_{E}\sqrt{y^{2}+w^{2}}\;dy\,dz\,dw =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\Bigl(P(1,r\sin\theta)-P(r^{2},r\sin\theta)\Bigr)\,r\,dr\,d\theta,onde P(y,r\sin\theta)=y\sqrt{y^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta}+r^{2}\sin^{2}\theta\, \ln\bigl(y+\sqrt{y^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta}\bigr).
  • Esta é uma expressão que reduz o triplo integral a um iterado duplo em r,\theta. Todas as mudanças de variável foram explicitadas: z=r\cos\theta, w=r\sin\theta, dz\,dw=r\,dr\,d\theta.

Passo 7

Comentários finais sobre a avaliação e forma final do resultado.
  • A integral dupla resultante é explícita e procede diretamente da primitiva em y. A integração em \theta e r pode ser feita analiticamente em termos de raízes e logaritmos (pelo fato de a primitiva em y produzir termos com raízes e logaritmos), mas as expressões intermediárias ficam longas e envolvem combinações de \sqrt{1+r^{2}\sin^{2}\theta}, \sqrt{r^{4}+r^{2}\sin^{2}\theta} e logaritmos desses termos.
  • O enunciado pediu expressamente que a mudança para polares fosse explicitada no momento que fosse necessária — isso foi feito. A integral foi reduzida a uma dupla integral explícita em coordenadas polares que contém a primitiva exata em y.

Resposta

\boxed{\displaystyle \iiint_{E}\sqrt{y^{2}+w^{2}}\;dy\,dz\,dw =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\Bigl[ P\bigl(1,r\sin\theta\bigr)-P\bigl(r^{2},r\sin\theta\bigr) \Bigr]\,r\,dr\,d\theta }
onde
\displaystyle P(y,r\sin\theta):=y\sqrt{y^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta} +r^{2}\sin^{2}\theta\;\ln\!\bigl(y+\sqrt{y^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta}\bigr).

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