Calcule
, onde
é o sólido delimitado pelo parabolóide
e pelo plano
na região onde
. (Faça o esboço da região, não use coordenadas cilíndricas e explicite a mudança de coordenadas retangulares convenientes para polares no momento que necessitar!)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede para calcular
onde
é o sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
na região onde
.
- Informações relevantes do enunciado:
- A superfície inferior do sólido é a superfície paraboloide
. - A superfície superior é o plano
. - A condição
significa que estamos apenas na metade superior do disco projetado no plano . - A projeção do sólido sobre o plano
é a meia–disco definida por
- A superfície inferior do sólido é a superfície paraboloide
- O que será calculado: o triplo integral da função
sobre . Vou usar a interpretação geométrica da região para escolher a ordem de integração e fazer uma mudança para coordenadas polares no plano quando conveniente (conforme pedido pelo enunciado).
Passo 2
Descrever o sólido e montar uma expressão para o integral antes de qualquer mudança de variável.
- Para um ponto fixo
na projeção (meia–disco), a coordenada varia de baixo para cima de Portanto podemos escrever o integral como integral iterada sobre : - Observação prática: a função a ser integrada depende em
e em , mas não depende de diretamente dentro da raiz (aparece no limite inferior via ). Ainda assim a expressão acima é uma forma natural para começar.
Passo 3
Escolher uma ordem de integração conveniente. Explicação didática do porquê.
- Integrar primeiro em
é natural porque os limites em são simples: de até . - Depois, para a integral dupla sobre
(variáveis ), é conveniente usar coordenadas polares no plano — isto é, fazer a mudança rectangular-para-polares somente na projeção , como o enunciado manda explicitar. - Motivação prática: a superfície
é mais simples em termos de . Portanto usar coordenadas polares em simplifica a descrição do domínio de projeção e o jacobiano.
Passo 4
Fazer a integral em
(antiderivada). Ensino da fórmula usada.
- Vamos calcular a primitiva em
onde aqui é tratado como constante quando integramos em . - Fórmula padrão (que vale para
constante) é Explico por que: pode obter-se por substituição trigonométrica ou por integração por partes; o resultado é essa expressão com raiz e logaritmo (resultado clássico). - Aplicando essa primitiva com
e avaliando entre e obtemos, para cada , onde defini Ou explicitando:
Passo 5
Descrever a projeção
e fazer explicitamente a mudança de coordenadas retangulares para polares no plano
.
- A projeção
é a meia–disco com . Em coordenadas polares no plano (isto é, usando com , ), fazemos a mudança: O jacobiano desta mudança é - Como
, o ângulo varia entre e . Como o raio no disco vai de a , temos . - Observação: aqui não estamos a usar coordenadas cilíndricas 3D; estamos simplesmente usando coordenadas polares no plano
— exatamente o pedido do enunciado.
Passo 6
Escrever o integral agora em coordenadas polares
e simplificar a expressão.
- Substituindo
e na expressão da integral já com a primitiva em , e lembrando do fator , obtemos - Substituindo a primitiva em
(fórmula do Passo 4) e organizando, obtemos uma expressão explícita: onde - Esta é uma expressão que reduz o triplo integral a um iterado duplo em
. Todas as mudanças de variável foram explicitadas: , , .
Passo 7
Comentários finais sobre a avaliação e forma final do resultado.
- A integral dupla resultante é explícita e procede diretamente da primitiva em
. A integração em e pode ser feita analiticamente em termos de raízes e logaritmos (pelo fato de a primitiva em produzir termos com raízes e logaritmos), mas as expressões intermediárias ficam longas e envolvem combinações de , e logaritmos desses termos. - O enunciado pediu expressamente que a mudança para polares fosse explicitada no momento que fosse necessária — isso foi feito. A integral foi reduzida a uma dupla integral explícita em coordenadas polares que contém a primitiva exata em
.
Resposta
onde