Calcule, usando mudança polar: (Fazer o esboço da regiāo e encontrar o intervalo do ângulo de modo analítico!)
\iint_{D} \arctan (y / z) d y d z, ondeD é a região do semiplanoéãy \geq 0 limitada pelos círculosíy{2}+z{2}=1 e pelas retasz= \pm y . (Não substituirãy / z$ diretamente.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \arctan\!\left(\frac{y}{z}\right)\,dy\,dz,
onde D é a região do semiplano y\ge 0 limitada pelo círculo y^{2}+z^{2}=1 e pelas retas z=\pm y.
Informações dadas e o que se pede:
  • A região D está no plano (y,z).
  • Limites exteriores: o círculo de raio 1 centrado na origem e as retas z= y e z=-y.
  • Além disso há a condição y\ge 0.
  • Pede-se usar mudança para coordenadas polares (fazer esboço da região e encontrar analiticamente o intervalo do ângulo).
  • Obs.: não substituir y/z “diretamente” (vamos tratar a razão por meio da trigonometria de polares e com cuidado quanto ao ramo de \arctan).

Passo 2

Esboço e determinação analítica do intervalo angular. Vou descrever a figura em palavras (desenho mental): o círculo y^{2}+z^{2}=1 é o disco de raio 1. As retas z=\pm y são duas diagonais que formam ângulos de \pm 45^\circ com o eixo y. A condição y\ge 0 significa que só consideramos a metade superior do plano. Assim D é o setor circular de raio 1 centrado na origem, limitado pelas duas retas e contido na metade y\ge 0.
Agora traduzimos isso para polares. Usarei a parametrização polares no plano (y,z)
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo y (ou equivalentemente, essa escolha faz com que a condição y\ge0 corresponda a \cos\theta\ge0). As fronteiras das retas dão:
z = y \\ \Longrightarrow\\ r\sin\theta = r\cos\theta \\ \Longrightarrow\\ \tan\theta = 1 \\ \Longrightarrow\\ \theta = \frac{\pi}{4},
z = -y \\ \Longrightarrow\\ r\sin\theta = -r\cos\theta \\ \Longrightarrow\\ \tan\theta = -1 \\ \Longrightarrow\\ \theta = -\frac{\pi}{4}.
A condição y\ge 0 impõe \cos\theta\ge 0, ou seja \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. Interseção com as retas dá o intervalo angular
\theta\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right].
O raio varia de r=0 até r=1 (círculo de raio 1). Portanto, em polares a região D corresponde a
0\le r\le 1,\qquad -\frac{\pi}{4}\le \theta\le \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Mudança para coordenadas polares e fórmula do jacobiano. Ao mudar (y,z)\mapsto(r,\theta) com y=r\cos\theta, z=r\sin\theta, a área elementar transforma-se por
dy\,dz = r\,dr\,d\theta,
onde r é o jacobiano da transformação polar. Isto é padrão: o pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta. Portanto a integral vira
\iint_{D} \arctan\!\left(\frac{y}{z}\right)\,dy\,dz = \int_{\theta=-\pi/4}^{\pi/4}\int_{r=0}^{1} \arctan\!\left(\frac{r\cos\theta}{r\sin\theta}\right)\,r\,dr\,d\theta.
Observe que r cancela dentro da razão, então a integranda depende só de \theta:
\arctan\!\left(\frac{r\cos\theta}{r\sin\theta}\right) = \arctan\!\big(\cot\theta\big).
Aqui é importante tratar com cuidado o valor de \arctan\big(\cot\theta\big), por causa do ramo principal da função \arctan.

Passo 4

Análise do ramo de \arctan\) e expressão peça‑por‑peça. A função \(\arctan\) tem imagem principal \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Note que \[\cot\theta = \tan\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right).
Assim
\arctan\!\big(\cot\theta\big)=\arctan\!\Big(\tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\theta\big)\Big).
Mas a identidade \arctan(\tan \alpha)=\alpha vale apenas quando \alpha\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Aqui \alpha=\tfrac{\pi}{2}-\theta. Para \theta\in\left(0,\tfrac{\pi}{4}\right] temos \alpha\in\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right]\subset(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), então nessa parte vale
\arctan\!\big(\cot\theta\big)=\frac{\pi}{2}-\theta,\qquad \text{para } \theta\in\left(0,\tfrac{\pi}{4}\right].
Para \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},0\right) temos \alpha=\tfrac{\pi}{2}-\theta\in\left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4}\right], ou seja \alpha está fora do intervalo principal; então devemos subtrair \pi para trazer o ângulo ao ramo principal (porque \tan(\alpha-\pi)=\tan\alpha). Assim para \theta<0
\arctan\!\big(\cot\theta\big)=\frac{\pi}{2}-\theta-\pi = -\frac{\pi}{2}-\theta,\qquad \text{para } \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},0\right).
Portanto a função \arctan(\cot\theta) é dada peça‑por‑peça:
\arctan\!\big(\cot\theta\big)= \begin{cases} -\dfrac{\pi}{2}-\theta, & -\dfrac{\pi}{4}\le\theta<0,\\[6pt] \dfrac{\pi}{2}-\theta, & 0<\theta\le\dfrac{\pi}{4}. \end{cases}
(No ponto \theta=0\] a razão é singular, mas isso é uma curva de medida zero e não altera o valor da integral; por isso podemos integrar em dois intervalos abertos em \(0 e tomar limites.)]

Passo 5

Substituição na integral e integração em r. Usando a expressão da Passo 3 e a separação em \theta, temos
\iint_{D}\arctan\!\left(\frac{y}{z}\right)\,dy\,dz = \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\!\int_{0}^{1}\arctan\!\big(\cot\theta\big)\,r\,dr\,d\theta.
A parte em r é simples porque a integranda em \theta é independente de r:
\int_{0}^{1} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Logo
\iint_{D}\arctan\!\left(\frac{y}{z}\right)\,dy\,dz = \frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\arctan\!\big(\cot\theta\big)\,d\theta.

Passo 6

Avaliação da integral em \theta em duas partes usando a expressão peça‑por‑peça. Escrevemos
\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\arctan\!\big(\cot\theta\big)\,d\theta = \frac{1}{2}\left(\int_{-\pi/4}^{0}\Big(-\frac{\pi}{2}-\theta\Big)\,d\theta + \int_{0}^{\pi/4}\Big(\frac{\pi}{2}-\theta\Big)\,d\theta\right).
Calcule cada integral separadamente.
Para \theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{4}\right]:
\int_{0}^{\pi/4}\Big(\frac{\pi}{2}-\theta\Big)\,d\theta = \left[\frac{\pi}{2}\theta-\frac{\theta^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{16} = \frac{\pi^{2}}{8}-\frac{\pi^{2}}{32} = \frac{3\pi^{2}}{32}.
Para \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},0\right]:
\int_{-\pi/4}^{0}\Big(-\frac{\pi}{2}-\theta\Big)\,d\theta = \left[-\frac{\pi}{2}\theta-\frac{\theta^{2}}{2}\right]_{-\pi/4}^{0} = \bigl(0\bigr)-\Big(-\frac{\pi}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\frac{(\!-\tfrac{\pi}{4}\!)^{2}}{2}\Big) = \frac{3\pi^{2}}{32}.
Ambas as metades dão o mesmo valor \dfrac{3\pi^{2}}{32}.

Passo 7

Juntando os resultados:
\frac{1}{2}\left(\frac{3\pi^{2}}{32}+\frac{3\pi^{2}}{32}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3\pi^{2}}{16} = \frac{3\pi^{2}}{32}.
Portanto o valor da integral é \dfrac{3\pi^{2}}{32}.

Resposta

\dfrac{3\pi^{2}}{32}

Exercícios relacionados