Calcule, usando mudança polar: (Fazer o esboço da regiāo e encontrar o intervalo do ângulo de modo analítico!) \iint_{D} \arctan (y / z) d y d z, ondeDé a região do semiplanoy \geq 0limitada pelos círculosy{2}+z{2}=1e pelas retasz= \pm y. (Não substituiry / z$ diretamente.)
onde D é a região do semiplano y\ge 0 limitada pelo círculo y^{2}+z^{2}=1 e pelas retas z=\pm y.
Informações dadas e o que se pede:
A região D está no plano (y,z).
Limites exteriores: o círculo de raio 1 centrado na origem e as retas z= y e z=-y.
Além disso há a condição y\ge 0.
Pede-se usar mudança para coordenadas polares (fazer esboço da região e encontrar analiticamente o intervalo do ângulo).
Obs.: não substituir y/z “diretamente” (vamos tratar a razão por meio da trigonometria de polares e com cuidado quanto ao ramo de \arctan).
Passo 2
Esboço e determinação analítica do intervalo angular. Vou descrever a figura em palavras (desenho mental): o círculo y^{2}+z^{2}=1 é o disco de raio 1. As retas z=\pm y são duas diagonais que formam ângulos de \pm 45^\circ com o eixo y. A condição y\ge 0 significa que só consideramos a metade superior do plano. Assim D é o setor circular de raio 1 centrado na origem, limitado pelas duas retas e contido na metade y\ge 0.
Agora traduzimos isso para polares. Usarei a parametrização polares no plano (y,z)
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo y (ou equivalentemente, essa escolha faz com que a condição y\ge0 corresponda a \cos\theta\ge0). As fronteiras das retas dão:
z = y \\ \Longrightarrow\\ r\sin\theta = r\cos\theta \\ \Longrightarrow\\ \tan\theta = 1 \\ \Longrightarrow\\ \theta = \frac{\pi}{4},
Mudança para coordenadas polares e fórmula do jacobiano. Ao mudar (y,z)\mapsto(r,\theta) com y=r\cos\theta, z=r\sin\theta, a área elementar transforma-se por
dy\,dz = r\,dr\,d\theta,
onde r é o jacobiano da transformação polar. Isto é padrão: o pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta. Portanto a integral vira
Aqui é importante tratar com cuidado o valor de \arctan\big(\cot\theta\big), por causa do ramo principal da função \arctan.
Passo 4
Análise do ramo de \arctan\) e expressão peça‑por‑peça. A função \(\arctan\) tem imagem principal \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Note que
\[\cot\theta = \tan\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right).
Mas a identidade \arctan(\tan \alpha)=\alpha vale apenas quando \alpha\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big). Aqui \alpha=\tfrac{\pi}{2}-\theta. Para \theta\in\left(0,\tfrac{\pi}{4}\right] temos \alpha\in\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right]\subset(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), então nessa parte vale
Para \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},0\right) temos \alpha=\tfrac{\pi}{2}-\theta\in\left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4}\right], ou seja \alpha está fora do intervalo principal; então devemos subtrair \pi para trazer o ângulo ao ramo principal (porque \tan(\alpha-\pi)=\tan\alpha). Assim para \theta<0
(No ponto \theta=0\] a razão é singular, mas isso é uma curva de medida zero e não altera o valor da integral; por isso podemos integrar em dois intervalos abertos em \(0 e tomar limites.)]
Passo 5
Substituição na integral e integração em r. Usando a expressão da Passo 3 e a separação em \theta, temos