Seja
e ponha
. Verifique que
. Conclua que existe
e determine
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência definida por
e, para
,
Pede-se duas coisas:
- Verificar a desigualdade
para todo . - Concluir que existe
e determinar o valor de .
As informações relevantes são apenas a condição inicial
e a relação de recorrência.
Passo 2
Vamos calcular a diferença
em termos de
. Usando a recorrência:
Subtraindo essas duas expressões:
Colocando em denominação comum obtemos
Tomando valor absoluto:
Passo 3
Para usar a fórmula acima precisamos de um limite inferior para
. Primeiro notemos que, por recorrência,
para todo
, pois
. Como
e a regra gera sempre um termo
, segue por indução que
para todo
.
Agora calculemos explicitamente o produto
:
Como
, tem-se
. Portanto
Passo 4
Voltando à expressão do passo 2 e usando o fato do passo 3:
Isto verifica a desigualdade pedida.
Passo 5
A desigualdade do passo anterior mostra que as diferenças consecutivas formam uma sequência geométrica decrescente. Vamos estimar
por indução: para
é verdadeira a identidade trivial; supondo
para
, aplicando a desigualdade do passo 4 para
obtemos
Portanto, por indução,
Passo 6
Mostramos agora que
é uma sequência de Cauchy (o que implica convergência nos reais). Para
,
Usando a estimativa do passo 5,
A soma geométrica é
Assim
Como o lado direito tende a
quando
, a sequência é Cauchy e, por completude de
, existe
Passo 7
Para determinar
tomamos limite na recorrência
. Como as operações soma e recíproca são contínuas em
e
, podemos passar o limite em ambos os lados:
Isto é uma equação em
. Colocando em forma quadrática:
As raízes são
Como
para todo
, o limite
deve ser
. A raiz
é negativa, portanto a única possível é
Passo 8
Resumo da conclusão: a desigualdade de contração foi verificada e usou-se ela para mostrar que
é Cauchy e, portanto, converge. O limite
satisfaz
e é dado por
.