Seja x_{1}=1 e ponha x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}. Verifique que \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| \leq \frac{1}{2}\left|x_{n+1}-x_{n}\right|. Conclua que existe a=\lim x_{n} e determine a.

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida por x_{1}=1 e, para n\ge1,
x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}.
Pede-se duas coisas:
  • Verificar a desigualdade \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| \le \tfrac{1}{2}\left|x_{n+1}-x_{n}\right| para todo n.
  • Concluir que existe a=\lim x_{n} e determinar o valor de a.
As informações relevantes são apenas a condição inicial x_{1}=1 e a relação de recorrência.

Passo 2

Vamos calcular a diferença x_{n+2}-x_{n+1} em termos de x_{n+1}-x_{n}. Usando a recorrência:
x_{n+2}=1+\frac{1}{x_{n+1}},\qquad x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}.
Subtraindo essas duas expressões:
x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}.
Colocando em denominação comum obtemos
x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{x_n-x_{n+1}}{x_n x_{n+1}}.
Tomando valor absoluto:
\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|=\frac{\left|x_{n+1}-x_{n}\right|}{x_n x_{n+1}}.

Passo 3

Para usar a fórmula acima precisamos de um limite inferior para x_n x_{n+1}. Primeiro notemos que, por recorrência,
x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}\ge 1
para todo n, pois 1/x_n\ge 0. Como x_1=1 e a regra gera sempre um termo \ge1, segue por indução que x_n\ge 1 para todo n.
Agora calculemos explicitamente o produto x_n x_{n+1}:
x_n x_{n+1}=x_n\left(1+\frac{1}{x_n}\right)=x_n+1.
Como x_n\ge1, tem-se x_n+1\ge 2. Portanto
x_n x_{n+1}\ge 2\qquad\text{para todo }n.

Passo 4

Voltando à expressão do passo 2 e usando o fato do passo 3:
\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|=\frac{\left|x_{n+1}-x_n\right|}{x_n x_{n+1}}\le \frac{\left|x_{n+1}-x_n\right|}{2}=\tfrac{1}{2}\left|x_{n+1}-x_n\right|.
Isto verifica a desigualdade pedida.

Passo 5

A desigualdade do passo anterior mostra que as diferenças consecutivas formam uma sequência geométrica decrescente. Vamos estimar \left|x_{n+1}-x_n\right| por indução: para n=1 é verdadeira a identidade trivial; supondo
\left|x_{k+1}-x_k\right|\le \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-1}\left|x_2-x_1\right|
para k\le n, aplicando a desigualdade do passo 4 para k=n obtemos
\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right|\le \tfrac{1}{2}\left|x_{n+1}-x_n\right|\le \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}\left|x_2-x_1\right|=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\left|x_2-x_1\right|.
Portanto, por indução,
\left|x_{n+1}-x_n\right|\le \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}\left|x_2-x_1\right|\qquad\text{para todo }n\ge1.

Passo 6

Mostramos agora que (x_n) é uma sequência de Cauchy (o que implica convergência nos reais). Para m>n,
\left|x_m-x_n\right|\le \sum_{k=n}^{m-1}\left|x_{k+1}-x_k\right|.
Usando a estimativa do passo 5,
\left|x_m-x_n\right|\le \sum_{k=n}^{m-1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-1}\left|x_2-x_1\right| \le \left|x_2-x_1\right|\sum_{k=n}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-1}.
A soma geométrica é
\sum_{k=n}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-1}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}\sum_{j=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{j}= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot 2=2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}.
Assim
\left|x_m-x_n\right|\le 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}\left|x_2-x_1\right|.
Como o lado direito tende a 0 quando n\to\infty, a sequência é Cauchy e, por completude de \mathbb{R}, existe
a=\lim_{n\to\infty} x_n.

Passo 7

Para determinar a tomamos limite na recorrência x_{n+1}=1+\dfrac{1}{x_n}. Como as operações soma e recíproca são contínuas em (0,\infty) e x_n\ge1>0, podemos passar o limite em ambos os lados:
a=1+\frac{1}{a}.
Isto é uma equação em a. Colocando em forma quadrática:
a^2-a-1=0.
As raízes são
a=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como x_n\ge1 para todo n, o limite a deve ser \ge1. A raiz \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} é negativa, portanto a única possível é
a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Passo 8

Resumo da conclusão: a desigualdade de contração foi verificada e usou-se ela para mostrar que (x_n) é Cauchy e, portanto, converge. O limite a satisfaz a=1+1/a e é dado por a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.

Resposta

\left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| \le \tfrac{1}{2}\left|x_{n+1}-x_{n}\right| para todo n.\n \displaystyle a=\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

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