Calcule \iiint_{w} x dv, onde w é definido por
e
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
O conteúdo envolve integrais triplas e uso de simetria de regiões. Vamos usar um argumento de simetria para resolver sem fazer efetivamente a integral em coordenadas.
Passo 2
Observe que a região
é simétrica em relação ao plano
. De fato, se
, então
e o ponto refletido
satisfaz
logo
.
Passo 3
O integrando
é uma função ímpar em relação a
, ou seja,
Assim, para cada contribuição positiva de um ponto com
existe contribuição negativa igual de seu reflexo com
, e essas se cancelam em todo o domínio.