Calcule \iiint_{w} x dv, onde w é definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e y \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iiint_{W} x \, dV
onde
W = \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le9,\;y\le0\}.
O conteúdo envolve integrais triplas e uso de simetria de regiões. Vamos usar um argumento de simetria para resolver sem fazer efetivamente a integral em coordenadas.

Passo 2

Observe que a região W é simétrica em relação ao plano x=0. De fato, se (x,y,z)\in W, então
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le9,\quad y\le0,
e o ponto refletido (-x,y,z) satisfaz
(-x)^{2}+y^{2}+z^{2}\le9,\quad y\le0,
logo (-x,y,z)\in W.

Passo 3

O integrando x é uma função ímpar em relação a x, ou seja,
x(-x,y,z) = -x(x,y,z).
Assim, para cada contribuição positiva de um ponto com x>0 existe contribuição negativa igual de seu reflexo com x<0, e essas se cancelam em todo o domínio.

Resposta

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