Calcule \iint_{D} x dA, onde D é definido por x^{2}+y^{2} \leqslant 9 acima de y=x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D} x\,dA
onde D é o disco de raio 3 centrado na origem, limitado por
x^{2}+y^{2}\le9
e pela região “acima” da reta y=x. O conteúdo principal aqui é integral dupla em coordenadas polares, usando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o fator de Jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
A condição x^{2}+y^{2}\le9 vira 0\le r\le3. A condição y\ge x equivale a
\sin\theta \ge \cos\theta
ou seja
\sin(\theta-\tfrac\pi4)\ge0
que ocorre para
\theta\in\bigl[\tfrac\pi4,\tfrac\pi4+\pi\bigr]=\bigl[\tfrac\pi4,\tfrac{5\pi}4\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral,
\iint_{D} x\,dA =\int_{\theta=\pi/4}^{5\pi/4}\int_{r=0}^{3}(r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta =\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\cos\theta\Bigl(\int_{0}^{3}r^{2}dr\Bigr)d\theta.

Passo 4

Calculemos a parte radial:
\int_{0}^{3}r^{2}dr =\bigl[\tfrac{r^{3}}{3}\bigr]_{0}^{3} =\tfrac{27}{3} =9.
Logo a integral fica
9\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Integramos em \theta:
\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\cos\theta\,d\theta =\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/4}^{5\pi/4} =\sin\bigl(\tfrac{5\pi}4\bigr)-\sin\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =-\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2} =-\sqrt2.
Multiplicando por 9 obtemos
9\cdot\bigl(-\sqrt2\bigr) =-9\sqrt2.

Resposta

-9\sqrt2

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