Calcule \iint_{D} x dA, onde D é limitado por y=e^{x}, y=-x e 0 \leqslant x \leqslant 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x\,dA
onde D é o conjunto de pontos (x,y) tais que
0 \le x \le 2,\quad y = -x\\ \text{(menor)}\\ \text{e}\\ y = e^x\\ \text{(maior)}.
O conteúdo principal aqui é usar a fórmula de Fubini para escrever a integral como iterada em x e y, e em seguida calcular integrais de uma variável (incluindo uma por partes).

Passo 2

Vamos escrever a integral dupla como iterada em ordem dy\,dx. Para cada x\in[0,2], y varia de -x até e^x. Assim,
\iint_{D} x\,dA = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=-x}^{e^x} x\,dy\,dx.

Passo 3

No interior podemos retirar x (pois é constante em y):
\int_{y=-x}^{e^x} x\,dy = x\bigl[e^x - (-x)\bigr] = x\bigl(e^x + x\bigr).
Portanto a integral fica
\int_{0}^{2} \bigl(xe^x + x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Separe em duas integrais:
\int_{0}^{2} xe^x\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{2} x^2\,dx.
Para \displaystyle\int xe^x\,dx use integração por partes:
escolha u = x, dv = e^x dx, então du = dx, v = e^x.
Logo
\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = e^x(x-1) + C.
Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2} xe^x\,dx = \bigl[e^x(x-1)\bigr]_{0}^{2} = \bigl(e^2(2-1)\bigr) - \bigl(e^0(0-1)\bigr) = e^2 + 1.

Passo 5

Agora calcule
\int_{0}^{2} x^2\,dx = \Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{8}{3}.

Passo 6

Somando os resultados:
\int_{0}^{2} \bigl(xe^x + x^2\bigr)\,dx = \bigl(e^2 + 1\bigr) + \frac{8}{3} = e^2 + \frac{11}{3}.

Resposta

\iint_{D} x\,dA = e^2 + \frac{11}{3}.

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