Calcule \iiint_{w} x z dV, onde w é definido por
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral
no domínio
que é a casca esférica entre
e
, restrita à região onde
e
. Vamos usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as relações
e o elemento de volume
As fronteiras ficam
Passo 3
O integrando
em esféricas vira
Então o integral total é
Agrupando termos:
Passo 4
Calculemos o integral em
:
Passo 5
Agora o integral em
. Faça
, então
e quando
vai de
a
,
vai de
a
:
Passo 6
Finalmente o integral em
:
Passo 7
Multiplicando todos os fatores: