Calcule \iiint_{w} x z dV, onde w é definido por x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4, z \geqslant 0 e x \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral
\iiint_{W} x\,z \,dV
no domínio W que é a casca esférica entre r=1 e r=2, restrita à região onde z\ge0 e x\le0. Vamos usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as relações
x = r\sin\varphi\cos\theta, \quad y = r\sin\varphi\sin\theta, \quad z = r\cos\varphi,
e o elemento de volume
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
As fronteiras ficam
1 \le r \le 2, \quad 0 \le \varphi \le \tfrac{\pi}{2} \quad(\text{pois }z\ge0), \quad \tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{3\pi}{2} \quad(\text{pois }x\le0).

Passo 3

O integrando x\,z em esféricas vira
x\,z = \bigl(r\sin\varphi\cos\theta\bigr)\bigl(r\cos\varphi\bigr) = r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta.
Então o integral total é
\int_{\theta=\pi/2}^{3\pi/2} \int_{\varphi=0}^{\pi/2} \int_{r=1}^{2} r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\cos\theta \;\bigl(r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\bigr).
Agrupando termos:
\iiint_{W}x\,z\,dV = \int_{1}^{2}r^{4}dr \;\times\; \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\,d\varphi \;\times\; \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Calculemos o integral em \theta:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2} = \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -1 - 1 = -2.

Passo 5

Agora o integral em \varphi. Faça u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\,d\varphi e quando \varphi vai de 0 a \pi/2, u vai de 0 a 1:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{1}u^{2}\,du = \frac{1}{3}.

Passo 6

Finalmente o integral em r:
\int_{1}^{2}r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{5}-1}{5} = \frac{31}{5}.

Passo 7

Multiplicando todos os fatores:
\iiint_{W}x\,z\,dV = \frac{31}{5}\;\times\;\frac{1}{3}\;\times\;(-2) = -\frac{62}{15}.

Resposta

-\tfrac{62}{15}

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