Calcule \iint(3 x+2 y) e^{x-4 y} d A, onde D é definido por
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o conjunto de pontos
que satisfazem
O conteúdo principal é usar uma mudança de variáveis apropriada para simplificar a integral.
Passo 2
Definimos as variáveis
Então o integrando fica simplesmente
. Precisamos expressar
em função de
e calcular o Jacobiano.
Passo 3
Resolvendo o sistema
obtemos
O Jacobiano em valor absoluto é
Logo
.
Passo 4
Em termos de
, a região
vira
pois
equivale a
. A integral torna-se
Passo 5
Calculamos em duas etapas:
Multiplicando tudo: