Calcule \iint(3 x+2 y) e^{x-4 y} d A, onde D é definido por 3 x+2 y=0,3 x+2 y=4 e x=4 y+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(3x+2y)e^{\,x-4y}\,dA
onde D é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
0 \le 3x+2y \le 4 \quad\text{e}\quad x \le 4y+1\,.
O conteúdo principal é usar uma mudança de variáveis apropriada para simplificar a integral.

Passo 2

Definimos as variáveis
u = 3x+2y, \qquad v = x - 4y.
Então o integrando fica simplesmente u\,e^{v}. Precisamos expressar (x,y) em função de (u,v) e calcular o Jacobiano.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3x+2y = u,\\\ x - 4y = v, \end{cases}
obtemos
y = \frac{u - 3v}{14}, \quad x = \frac{2u + v}{7}.
O Jacobiano em valor absoluto é
\bigl|\det D(x,y)/D(u,v)\bigr| = \frac{1}{14}.
Logo dA = \tfrac{1}{14}\,du\,dv.

Passo 4

Em termos de (u,v), a região D vira
0 \le u \le 4, \qquad v \le 1,
pois x\le4y+1 equivale a v=x-4y\le1. A integral torna-se
\iint_{D} (3x+2y)e^{x-4y}\,dA = \int_{v=-\infty}^{1}\int_{u=0}^{4} u\,e^{v}\,\frac{du\,dv}{14}.

Passo 5

Calculamos em duas etapas:
\int_{u=0}^{4}u\,du = \frac{4^{2}}{2}=8,
\int_{v=-\infty}^{1}e^{v}\,dv = \bigl[e^{v}\bigr]_{-\infty}^{1}=e.
Multiplicando tudo:
\frac{1}{14}\times 8 \times e = \frac{8e}{14} = \frac{4e}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{4e}{7}

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