Calcule
onde
é a região delimitada por
e pelo paraboloide
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde [E) é a região limitada por
e pelo paraboloide
.
Informações dadas:
A região
tais que
e
está na projeção no plano
determinada por
(obtida impondo
na equação do paraboloide).]
Passo 2
Escolha do método: como a projeção no plano
é um disco circular (
), é natural usar coordenadas cilíndricas
. Vou explicar as fórmulas que usarei.
Mudança para coordenadas cilíndricas:
onde
é a distância radial no plano
e
é o ângulo polar.
Jacobiano (fator de escala) da mudança de variáveis:
Explicação rápida do Jacobiano: ao trocar
por
o elemento de área
se transforma em
porque arcos e comprimentos radiais geram um fator
(essa é a regra prática para coordenadas polares/cilíndricas).
Fórmula geral em cilíndricas para integrar uma função
:
Passo 3
Determinação dos limites de integração.
- Para
: a região fica entre e . Em coordenadas cilíndricas , logo
- Para
: a projeção no plano é o disco , então
- Para
: cobrimos todo o disco, então
Portanto os limites são
,
,
.
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas usando os limites e o Jacobiano. A função integranda
fica
em cilíndricas, e multiplicamos por
. Logo:
Passo 5
Integrar em
primeiro (é a integral mais simples). Para
fixo:
Expandindo
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Agora integrar em
de
a
:
Calcule termo a termo:
Somando:
Passo 7
Finalmente integrar em
de
a
. A expressão obtida em
é constante em
, então: