Calcule
\iiint_{E} z d V
onde E é a região delimitada por z=0 e pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} z\,dV
onde [E) é a região limitada por z=0 e pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2}.
Informações dadas:
\begin{cases} \text{superior: } z=4-x^{2}-y^{2},\\[4pt] \text{inferior: } z=0. \end{cases}
A região E\] consiste dos pontos \((x,y,z) tais que 0\le z\le 4-x^{2}-y^{2} e (x,y) está na projeção no plano xy determinada por x^{2}+y^{2}\le 4 (obtida impondo z\ge0 na equação do paraboloide).]

Passo 2

Escolha do método: como a projeção no plano xy é um disco circular ( x^{2}+y^{2}\le 4), é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Vou explicar as fórmulas que usarei.
Mudança para coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge0 é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo polar.
Jacobiano (fator de escala) da mudança de variáveis:
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do Jacobiano: ao trocar (x,y) por (r,\theta) o elemento de área dx\,dy se transforma em r\,dr\,d\theta porque arcos e comprimentos radiais geram um fator r (essa é a regra prática para coordenadas polares/cilíndricas).
Fórmula geral em cilíndricas para integrar uma função f(x,y,z):
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\int_{r_{\min}(\theta)}^{r_{\max}(\theta)}\int_{z_{\min}(r,\theta)}^{z_{\max}(r,\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinação dos limites de integração.
  • Para z: a região fica entre z=0 e z=4-x^{2}-y^{2}. Em coordenadas cilíndricas x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo
0\le z \le 4-r^{2}.
  • Para r: a projeção no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le4, então
0\le r \le 2.
  • Para \theta: cobrimos todo o disco, então
0\le \theta \le 2\pi.
Portanto os limites são \theta\in[0,2\pi], r\in[0,2], z\in[0,4-r^{2}].

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas usando os limites e o Jacobiano. A função integranda z fica z em cilíndricas, e multiplicamos por r. Logo:
\iiint_{E} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^{2}} z\cdot r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em z primeiro (é a integral mais simples). Para r fixo:
\int_{0}^{4-r^{2}} z\cdot r \,dz = r\int_{0}^{4-r^{2}} z\,dz = r\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{0}^{4-r^{2}} = r\cdot \tfrac{1}{2}\,(4-r^{2})^{2}.
Expandindo (4-r^{2})^{2}:
(4-r^{2})^{2}=16-8r^{2}+r^{4}.
Multiplicando por r/2:
r\cdot \tfrac{1}{2}(4-r^{2})^{2} = \tfrac{1}{2}r(16-8r^{2}+r^{4}) = 8r-4r^{3}+\tfrac{1}{2}r^{5}.

Passo 6

Agora integrar em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(8r-4r^{3}+\tfrac{1}{2}r^{5}\bigr)\,dr.
Calcule termo a termo:
\int_{0}^{2}8r\,dr = 8\cdot \left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{2} = 8\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 16,
\int_{0}^{2}-4r^{3}\,dr = -4\cdot \left[\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{2} = -4\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 16 = -16,
\int_{0}^{2}\tfrac{1}{2}r^{5}\,dr = \tfrac{1}{2}\cdot \left[\tfrac{1}{6}r^{6}\right]_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{6}\cdot 64 = \tfrac{64}{12} = \tfrac{16}{3}.
Somando:
16-16+\tfrac{16}{3} = \tfrac{16}{3}.

Passo 7

Finalmente integrar em \theta de 0 a 2\pi. A expressão obtida em r é constante em \theta, então:
\int_{0}^{2\pi} \tfrac{16}{3}\,d\theta = \tfrac{16}{3}\cdot \bigl[ \theta \bigr]_{0}^{2\pi} = \tfrac{16}{3}\cdot 2\pi = \tfrac{32\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32\pi}{3}

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