{ }^{\mathrm{a}} Questão.
Seja o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=(2 x y) \mathbf{i}+\left(x^{2}\right) \mathbf{j}.
(a) Calcule o trabalho \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é a curva composta pelo segmento de reta do ponto (0,0) até (1,1) seguido pelo segmento de reta de (1,1) até (2,1).
(b) O campo F é conservativo em \mathbb{R}^{2} ? Justifique e, se for, encontre a função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumido e claro):
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y)=(2xy)\,\mathbf{i} + (x^{2})\,\mathbf{j}.
  • A curva C é composta por dois segmentos: primeiro de (0,0) até (1,1) e depois de (1,1) até (2,1).
  • Perguntas:
    (a) Calcular o trabalho \displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
    (b) Dizer se \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{2}. Se for, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Passo 2

Conceitos e método para (a) — integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva poligonal:
  • Para calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} quando C é peça por peça (aqui dois segmentos), parametrizamos cada segmento por uma função \mathbf{r}(t), calculamos \mathbf{r}'(t), avaliamos \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) e integrarmos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) no intervalo do parâmetro.
  • Se C é a união de C_{1} e C_{2}, então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}+\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Vou aplicar isso explicitamente para os dois segmentos.

Passo 3

Primeiro segmento C_{1} de (0,0) até (1,1).
  • Parametrização simples: \mathbf{r}_{1}(t)=(t,t), com t\in[0,1].
  • Derivada: \mathbf{r}_{1}'(t)=(1,1).
  • Avaliando \mathbf{F} em \mathbf{r}_{1}(t): substituindo x=t,\;y=t,
\mathbf{F}(\mathbf{r}_{1}(t))=(2t\cdot t,\,t^{2})=(2t^{2},\,t^{2}).
  • Produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}_{1}(t))\cdot\mathbf{r}_{1}'(t)= (2t^{2},t^{2})\cdot(1,1)=2t^{2}+t^{2}=3t^{2}.
  • Integral no intervalo 0\le t\le1:
\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt=\left[t^{3}\right]_{0}^{1}=1.

Passo 4

Segundo segmento C_{2} de (1,1) até (2,1).
  • Parametrização simples: \mathbf{r}_{2}(u)=(1+u,\,1), com u\in[0,1]. (Aqui u=0\Rightarrow(1,1), u=1\Rightarrow(2,1).)
  • Derivada: \mathbf{r}_{2}'(u)=(1,0).
  • Avaliando \mathbf{F} em \mathbf{r}_{2}(u): x=1+u,\;y=1,
\mathbf{F}(\mathbf{r}_{2}(u))=(2(1+u)\cdot 1,\,(1+u)^{2})=(2(1+u),\,(1+u)^{2}).
  • Produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}_{2}(u))\cdot\mathbf{r}_{2}'(u)=(2(1+u),(1+u)^{2})\cdot(1,0)=2(1+u).
  • Integral no intervalo 0\le u\le1:
\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}2(1+u)\,du =\left[2u+u^{2}\right]_{0}^{1}=2+1=3.

Passo 5

Somando os dois trechos para obter o trabalho total:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}+\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=1+3=4.
Observação amigável: deu 4. Guarde esse número para conferir com a parte (b) — se for conservativo, deve coincidir com f(2,1)-f(0,0).

Passo 6

Conceitos e método para (b) — verificar se o campo é conservativo e como encontrar função potencial:
  • Em \mathbb{R}^{2}, para um campo \mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y)) com derivadas parciais contínuas, uma condição necessária (e, em domínios simplesmente conexos, suficiente) para \mathbf{F} ser conservativo é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • Se essa condição vale em todo \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo, sem “buracos”), então existe uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}. Para encontrar f podemos integrar P em relação a x e depois ajustar com uma função de y (ou integrar Q em relação a y e ajustar com função de x).

Passo 7

Aplicando a condição de conservatividade ao campo dado:
  • Aqui P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^{2}.
  • Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2x em todo \mathbb{R}^{2}, a condição é satisfeita. Como \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 8

Encontrando a função potencial f(x,y):
  • Integrar P(x,y)=2xy em relação a x:
\int 2xy\,dx = x^{2}y + g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y (constante de integração em relação a x).
  • Agora impomos que a derivada parcial de f em relação a y seja Q(x,y)=x^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y + g(y)\bigr)=x^{2}+g'(y)=Q(x,y)=x^{2}.
  • Daí g'(y)=0, logo g(y)=C, constante.
  • Assim uma função potencial é
f(x,y)=x^{2}y + C,
onde C é constante (podemos escolher C=0 se quisermos uma potencial específica).

Passo 9

Checagem por independência de caminho (verificação rápida):
  • Se usarmos a função potencial com C=0,
f(2,1)=2^{2}\cdot 1 =4,\qquad f(0,0)=0,
logo f(2,1)-f(0,0)=4, que coincide com o trabalho calculado no Passo 5. Boa confirmação de consistência.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=4
(b) Sim. \displaystyle f(x,y)=x^{2}y+C

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