Questão.
Seja o campo vetorial
.
(a) Calcule o trabalho
, onde
é a curva composta pelo segmento de reta do ponto
até
seguido pelo segmento de reta de
até
.
(b) O campo F é conservativo em
? Justifique e, se for, encontre a função potencial
tal que
.
(a) Calcule o trabalho
(b) O campo F é conservativo em
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumido e claro):
- O campo vetorial é
. - A curva
é composta por dois segmentos: primeiro de até e depois de até . - Perguntas:
(a) Calcular o trabalho.
(b) Dizer seé conservativo em . Se for, encontrar uma função potencial tal que .
Passo 2
Conceitos e método para (a) — integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva poligonal:
- Para calcular
quando é peça por peça (aqui dois segmentos), parametrizamos cada segmento por uma função , calculamos , avaliamos e integrarmos o produto escalar no intervalo do parâmetro. - Se
é a união de e , então
Vou aplicar isso explicitamente para os dois segmentos.
Passo 3
Primeiro segmento
de
até
.
- Parametrização simples:
, com . - Derivada:
. - Avaliando
em : substituindo ,
- Produto escalar:
- Integral no intervalo
:
Passo 4
Segundo segmento
de
até
.
- Parametrização simples:
, com . (Aqui , .) - Derivada:
. - Avaliando
em : ,
- Produto escalar:
- Integral no intervalo
:
Passo 5
Somando os dois trechos para obter o trabalho total:
Observação amigável: deu
. Guarde esse número para conferir com a parte (b) — se for conservativo, deve coincidir com
.
Passo 6
Conceitos e método para (b) — verificar se o campo é conservativo e como encontrar função potencial:
- Em
, para um campo com derivadas parciais contínuas, uma condição necessária (e, em domínios simplesmente conexos, suficiente) para ser conservativo é
- Se essa condição vale em todo
(que é simplesmente conexo, sem “buracos”), então existe uma função potencial tal que . Para encontrar podemos integrar em relação a e depois ajustar com uma função de (ou integrar em relação a e ajustar com função de ).
Passo 7
Aplicando a condição de conservatividade ao campo dado:
- Aqui
e . - Calcule as derivadas parciais:
- Como
em todo , a condição é satisfeita. Como é simplesmente conexo, concluímos que é conservativo em .
Passo 8
Encontrando a função potencial
:
- Integrar
em relação a :
onde
é uma função que depende só de
(constante de integração em relação a
).
- Agora impomos que a derivada parcial de
em relação a seja :
- Daí
, logo , constante. - Assim uma função potencial é
onde
é constante (podemos escolher
se quisermos uma potencial específica).
Passo 9
Checagem por independência de caminho (verificação rápida):
- Se usarmos a função potencial com
,
logo
, que coincide com o trabalho calculado no Passo 5. Boa confirmação de consistência.
Resposta
(a)
(b) Sim.
(b) Sim.