Demonstre detalhadamente a equação de Bernoulli. Qual princípio de conservação tem correlação direta com a equação de Bernoulli?

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar detalhadamente a equação de Bernoulli e dizer qual princípio de conservação está diretamente correlacionado com ela.
Informações e condições que vamos assumir (essas são as hipóteses clássicas da demonstração elementar de Bernoulli que o professor costuma pedir): \n
  • o fluido é incompressível (densidade \rho constante),\n
  • o fluido é não viscoso (sem atrito interno),\n
  • escoamento estacionário (as grandezas não dependem do tempo num ponto fixo),\n
  • consideramos o escoamento ao longo de uma mesma linha de corrente (streamline),\n
  • não há trocas de calor nem trabalho de um eixo (nenhuma bomba ou turbina fazendo trabalho no trecho considerado).\n
    Dados que vamos usar e definir explicitamente:\n
  • pontos 1 e 2 ao longo da mesma linha de corrente;\n
  • pressões p_1 e p_2 em 1 e 2;\n
  • velocidades médias (ou pontuais na linha de corrente) v_1 e v_2;\n
  • alturas (elevações) z_1 e z_2 medidas em relação a uma referência qualquer;\n
  • densidade do fluido \rho (constante);\n
  • massa do “pacote” de fluido que se desloca m e volume desse pacote dV, com m=\rho\,dV.\n\n
    A resolução começa a partir do próximo passo.

Passo 2

Idéia física que vamos usar: aplicar o princípio do trabalho e energia (teorema do trabalho e energia) a um pequeno pacote de fluido que se desloca do ponto 1 ao ponto 2 ao longo da linha de corrente. Em palavras: o trabalho realizado pelas forças externas sobre esse pacote produz a variação de sua energia cinética. As forças externas relevantes são as forças de pressão nas seções e a força peso (gravidade). Vamos escrever cada termo com cuidado.

Passo 3

Trabalho das forças de pressão sobre o pacote de fluido.\n
Considere o pacote de volume dV que se desloca: na face de entrada (ponto 1) a pressão age empurrando o pacote, fazendo trabalho positivo, e na face de saída (ponto 2) a pressão empurra o fluido à frente, fazendo trabalho negativo sobre nosso pacote. Se A_1 e s_1 são área e deslocamento na face 1, e A_2,s_2 na face 2, temos o trabalho total das pressões\n W_p = p_1 A_1 s_1 - p_2 A_2 s_2.
Mas A_1 s_1 e A_2 s_2 são volumes deslocados que, por incompressibilidade, são iguais ao mesmo dV. Logo\n W_p = (p_1 - p_2)\,dV.
Agora, trabalho por unidade de massa (dividindo por m=\rho\,dV)\n \frac{W_p}{m} = \frac{p_1 - p_2}{\rho}.
Isso significa que a diferença de pressão por unidade de massa é a contribuição de energia (por massa) dada pelo efeito das forças de pressão.

Passo 4

Trabalho da gravidade (força peso) sobre o pacote de fluido.\n
A força peso sobre o pacote tem módulo m g apontando para baixo. Se a elevação passa de z_1 para z_2, a variação de energia potencial do pacote é \Delta PE = m g (z_2 - z_1). O trabalho realizado pela força peso é menos a variação de energia potencial, isto é,\n W_g = -\Delta PE = - m g (z_2 - z_1).
Dividindo por m (trabalho por unidade de massa) obtemos\n \frac{W_g}{m} = - g (z_2 - z_1) = g(z_1 - z_2).
Observação de sinal: se o pacote sobe ( z_2>z_1) a gravidade faz trabalho negativo, porque aumenta a energia potencial.

Passo 5

Variação da energia cinética por unidade de massa.\n
A energia cinética do pacote é \tfrac{1}{2} m v^2. A variação entre 1 e 2 é \Delta KE = \tfrac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2). Dividindo por m temos a variação de energia cinética por unidade de massa:\n \frac{\Delta KE}{m} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}.

Passo 6

Aplicando o teorema do trabalho e energia (trabalho total = variação da energia cinética).\n
Somamos os trabalhos por pressão e por gravidade e igualamos à variação da energia cinética (tudo por unidade de massa):\n \frac{W_p}{m} + \frac{W_g}{m} = \frac{\Delta KE}{m}.
Substituindo os valores que obtivemos:\n \frac{p_1 - p_2}{\rho} + g(z_1 - z_2) = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}.

Passo 7

Rearranjando para obter a forma clássica de Bernoulli.\n
Colocamos todos os termos com subscrito 1 de um lado e com subscrito 2 do outro. A equação do passo anterior pode ser reescrita como\n \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g z_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g z_2.
Como 1 e 2 são quaisquer pontos ao longo da mesma linha de corrente (nas hipóteses que fizemos), concluímos que a combinação\n \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + g z
é constante ao longo da linha de corrente. Escrevemos então a forma habitual:

Passo 8

Escrever a equação de Bernoulli e interpretar cada termo.\n
A equação de Bernoulli (forma por unidade de massa) é\n \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + g z = \text{conste ao longo de uma linha de corrente}.
Interpretação física dos termos (todos com unidades de energia por unidade de massa, \mathrm{J/kg}):\n
  • \dfrac{p}{\rho}: energia associada à pressão por unidade de massa (às vezes chamada de pressão dinâmica por massa);\n
  • \dfrac{v^2}{2}: energia cinética por unidade de massa;\n
  • g z: energia potencial (gravitacional) por unidade de massa.\n
Se quisermos escrever em termos de “head” (metros), dividimos tudo por g e obtemos a forma clássica em alturas:\n \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{conste}.
Aqui \dfrac{p}{\rho g} é a pressão-head, \dfrac{v^2}{2g} é a velocidade-head e z é a elevação-head.

Passo 9

Relembrando as hipóteses e o que muda se alguma hipótese for violada.\n
As hipóteses críticas que permitiram essa forma simples são: incompressibilidade, ausência de viscosidade, escoamento estacionário e sem trabalho externo interno. Se relaxarmos essas hipóteses obtemos termos adicionais:\n
  • com viscosidade (perdas por atrito) aparece um termo de perda de carga h_L que diminui a energia disponível entre 1 e 2; a versão prática é\n \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_L.\n
  • se houver uma bomba que realiza trabalho por unidade de massa h_B, o lado direito ganha esse termo.\n
  • para fluidos compressíveis ou escoamentos não estacionários a dedução precisa ser refeita com a energia interna e termos temporais.

Passo 10

Relação com outras formulações e derivação mais formal (comentário curto).\n
A demonstração que fizemos é a clássica via trabalho e energia aplicada a um pacote de fluido. Existe também uma derivação equivalente a partir da equação de Euler (equação de movimento para fluido ideal): integrando a componente ao longo de uma linha de corrente obtém-se a mesma expressão. Ambas as abordagens dependem fundamentalmente das leis de Newton aplicadas ao fluido e, portanto, da conservação da energia mecânica (quando não há dissipação).

Resposta

\displaystyle \frac{p}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}+g z=\text{constante ao longo de uma linha de corrente.}\n
Princípio de conservação correlato: conservação da energia mecânica (em outras palavras, a equação resulta diretamente do princípio da conservação de energia para um fluido ideal nas hipóteses indicadas).

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