Demonstre detalhadamente a equação de Bernoulli. Qual princípio de conservação tem correlação direta com a equação de Bernoulli?
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar detalhadamente a equação de Bernoulli e dizer qual princípio de conservação está diretamente correlacionado com ela.
Informações e condições que vamos assumir (essas são as hipóteses clássicas da demonstração elementar de Bernoulli que o professor costuma pedir): \n
Informações e condições que vamos assumir (essas são as hipóteses clássicas da demonstração elementar de Bernoulli que o professor costuma pedir): \n
- o fluido é incompressível (densidade
constante),\n - o fluido é não viscoso (sem atrito interno),\n
- escoamento estacionário (as grandezas não dependem do tempo num ponto fixo),\n
- consideramos o escoamento ao longo de uma mesma linha de corrente (streamline),\n
- não há trocas de calor nem trabalho de um eixo (nenhuma bomba ou turbina fazendo trabalho no trecho considerado).\n
Dados que vamos usar e definir explicitamente:\n - pontos 1 e 2 ao longo da mesma linha de corrente;\n
- pressões
e em 1 e 2;\n - velocidades médias (ou pontuais na linha de corrente)
e ;\n - alturas (elevações)
e medidas em relação a uma referência qualquer;\n - densidade do fluido
(constante);\n - massa do “pacote” de fluido que se desloca
e volume desse pacote , com .\n\n
A resolução começa a partir do próximo passo.
Passo 2
Idéia física que vamos usar: aplicar o princípio do trabalho e energia (teorema do trabalho e energia) a um pequeno pacote de fluido que se desloca do ponto 1 ao ponto 2 ao longo da linha de corrente. Em palavras: o trabalho realizado pelas forças externas sobre esse pacote produz a variação de sua energia cinética. As forças externas relevantes são as forças de pressão nas seções e a força peso (gravidade). Vamos escrever cada termo com cuidado.
Passo 3
Trabalho das forças de pressão sobre o pacote de fluido.\n
Considere o pacote de volume
que se desloca: na face de entrada (ponto 1) a pressão age empurrando o pacote, fazendo trabalho positivo, e na face de saída (ponto 2) a pressão empurra o fluido à frente, fazendo trabalho negativo sobre nosso pacote. Se
e
são área e deslocamento na face 1, e
na face 2, temos o trabalho total das pressões\n
Mas
e
são volumes deslocados que, por incompressibilidade, são iguais ao mesmo
. Logo\n
Agora, trabalho por unidade de massa (dividindo por
)\n
Isso significa que a diferença de pressão por unidade de massa é a contribuição de energia (por massa) dada pelo efeito das forças de pressão.
Passo 4
Trabalho da gravidade (força peso) sobre o pacote de fluido.\n
A força peso sobre o pacote tem módulo
apontando para baixo. Se a elevação passa de
para
, a variação de energia potencial do pacote é
. O trabalho realizado pela força peso é menos a variação de energia potencial, isto é,\n
Dividindo por
(trabalho por unidade de massa) obtemos\n
Observação de sinal: se o pacote sobe (
) a gravidade faz trabalho negativo, porque aumenta a energia potencial.
Passo 5
Variação da energia cinética por unidade de massa.\n
A energia cinética do pacote é
. A variação entre 1 e 2 é
. Dividindo por
temos a variação de energia cinética por unidade de massa:\n
Passo 6
Aplicando o teorema do trabalho e energia (trabalho total = variação da energia cinética).\n
Somamos os trabalhos por pressão e por gravidade e igualamos à variação da energia cinética (tudo por unidade de massa):\n
Substituindo os valores que obtivemos:\n
Passo 7
Rearranjando para obter a forma clássica de Bernoulli.\n
Colocamos todos os termos com subscrito 1 de um lado e com subscrito 2 do outro. A equação do passo anterior pode ser reescrita como\n
Como 1 e 2 são quaisquer pontos ao longo da mesma linha de corrente (nas hipóteses que fizemos), concluímos que a combinação\n
é constante ao longo da linha de corrente. Escrevemos então a forma habitual:
Passo 8
Escrever a equação de Bernoulli e interpretar cada termo.\n
A equação de Bernoulli (forma por unidade de massa) é\n
Interpretação física dos termos (todos com unidades de energia por unidade de massa,
):\n
-
: energia associada à pressão por unidade de massa (às vezes chamada de pressão dinâmica por massa);\n -
: energia cinética por unidade de massa;\n -
: energia potencial (gravitacional) por unidade de massa.\n
Se quisermos escrever em termos de “head” (metros), dividimos tudo por
e obtemos a forma clássica em alturas:\n
Aqui
é a pressão-head,
é a velocidade-head e
é a elevação-head.
Passo 9
Relembrando as hipóteses e o que muda se alguma hipótese for violada.\n
As hipóteses críticas que permitiram essa forma simples são: incompressibilidade, ausência de viscosidade, escoamento estacionário e sem trabalho externo interno. Se relaxarmos essas hipóteses obtemos termos adicionais:\n
As hipóteses críticas que permitiram essa forma simples são: incompressibilidade, ausência de viscosidade, escoamento estacionário e sem trabalho externo interno. Se relaxarmos essas hipóteses obtemos termos adicionais:\n
- com viscosidade (perdas por atrito) aparece um termo de perda de carga
que diminui a energia disponível entre 1 e 2; a versão prática é\n \n - se houver uma bomba que realiza trabalho por unidade de massa
, o lado direito ganha esse termo.\n - para fluidos compressíveis ou escoamentos não estacionários a dedução precisa ser refeita com a energia interna e termos temporais.
Passo 10
Relação com outras formulações e derivação mais formal (comentário curto).\n
A demonstração que fizemos é a clássica via trabalho e energia aplicada a um pacote de fluido. Existe também uma derivação equivalente a partir da equação de Euler (equação de movimento para fluido ideal): integrando a componente ao longo de uma linha de corrente obtém-se a mesma expressão. Ambas as abordagens dependem fundamentalmente das leis de Newton aplicadas ao fluido e, portanto, da conservação da energia mecânica (quando não há dissipação).
A demonstração que fizemos é a clássica via trabalho e energia aplicada a um pacote de fluido. Existe também uma derivação equivalente a partir da equação de Euler (equação de movimento para fluido ideal): integrando a componente ao longo de uma linha de corrente obtém-se a mesma expressão. Ambas as abordagens dependem fundamentalmente das leis de Newton aplicadas ao fluido e, portanto, da conservação da energia mecânica (quando não há dissipação).
Resposta
Princípio de conservação correlato: conservação da energia mecânica (em outras palavras, a equação resulta diretamente do princípio da conservação de energia para um fluido ideal nas hipóteses indicadas).