- Calcule
sobre o elipsoide sólido
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é o sólido elipsoidal
O conteúdo envolve simetria de integrais e mudança de variável afim para transformar o elipsoide na bola unitária, seguida de coordenadas esféricas.
Passo 2
Pela simetria do integrando
, pode-se restringir a região onde
(o primeiro octante) e multiplicar por 8. Assim
onde
Passo 3
Fazemos a mudança de variáveis afim
que leva o elipsoide na bola unitária
. O Jacobiano é
Além disso
. Logo
Passo 4
A integral no primeiro octante da bola unitária fica
Chamemos
Então a integral original é
Passo 5
Para calcular
usamos coordenadas esféricas (região só até
,
):
com
,
,
. O elemento de volume é
E o produto
fica
Logo o integrando total é
Passo 6
Compute cada parte separadamente:
fazendo
.
fazendo
.
Multiplicando,
Multiplicando,
Portanto a integral original vale