1. Calcule
\iiint|x y z| d x d y d z
sobre o elipsoide sólido
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iiint_{E} |x\,y\,z| \,dx\,dy\,dz
onde E é o sólido elipsoidal
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\le1.
O conteúdo envolve simetria de integrais e mudança de variável afim para transformar o elipsoide na bola unitária, seguida de coordenadas esféricas.

Passo 2

Pela simetria do integrando |x\,y\,z|, pode-se restringir a região onde x,y,z\ge0 (o primeiro octante) e multiplicar por 8. Assim
\iiint_{E} |x\,y\,z|\,dV =8 \iiint_{E_{+}} x\,y\,z\,dV,
onde
E_{+}=\bigl\{(x,y,z)\mid x,y,z\ge0,\;\tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}+\tfrac{z^{2}}{c^{2}}\le1\}.

Passo 3

Fazemos a mudança de variáveis afim
x = a\,u,\quad y = b\,v,\quad z = c\,w,
que leva o elipsoide na bola unitária u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1. O Jacobiano é
dx\,dy\,dz = a\,b\,c\;du\,dv\,dw.
Além disso x\,y\,z = (a\,u)(b\,v)(c\,w) = a\,b\,c\;u\,v\,w. Logo
x\,y\,z\,dx\,dy\,dz = (a\,b\,c)^{2}\;u\,v\,w\;du\,dv\,dw.

Passo 4

A integral no primeiro octante da bola unitária fica
\iiint_{E_{+}} x\,y\,z\,dV = (a\,b\,c)^{2} \iiint_{u,v,w\ge0,\;u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1} u\,v\,w\;du\,dv\,dw.
Chamemos
I = \iiint_{u,v,w\ge0,\;u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1} u\,v\,w\;du\,dv\,dw.
Então a integral original é
8\,(a\,b\,c)^{2}\,I.

Passo 5

Para calcular I usamos coordenadas esféricas (região só até \varphi=\pi/2, \theta=\pi/2):
u = r\sin\varphi\cos\theta,\quad v = r\sin\varphi\sin\theta,\quad w = r\cos\varphi,
com r\in[0,1], \varphi\in[0,\pi/2], \theta\in[0,\pi/2]. O elemento de volume é
du\,dv\,dw = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
E o produto u\,v\,w fica
u\,v\,w = r^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\;\cos\theta\sin\theta.
Logo o integrando total é
u\,v\,w\;du\,dv\,dw = r^{5}\,\sin^{3}\varphi\cos\varphi\;\cos\theta\sin\theta \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Compute cada parte separadamente:
\int_{0}^{1} r^{5}\,dr = \frac{1}{6},
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \tfrac12,
fazendo t=\sin\theta.
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{1} t^{3}\,dt = \tfrac{1}{4},
fazendo t=\sin\varphi.
Multiplicando,
I = \frac{1}{6}\cdot\frac12\cdot\frac14 = \frac{1}{48}.
Portanto a integral original vale
8\,(a\,b\,c)^{2}\,\frac{1}{48} = \frac{(a\,b\,c)^{2}}{6}.

Resposta

\iiint_{E} |x\,y\,z|\,dx\,dy\,dz = \frac{a^{2}\,b^{2}\,c^{2}}{6}.

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