Volume de um elipsoide Encontre o volume do elipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 . Passo 1O enunciado pede o volume do elipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1. O conteúdo envolve cálculo de volume por integral tripla e uso de mudança de variáveis (Jacobian). Vamos transformar o elipsoide numa bola unitária em (u,v,w). Passo 2Definimos a transformação x = a\,u,\quad y = b\,v,\quad z = c\,w. Sob essa mudança, a região do elipsoide vira D = \{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1\}, e o determinante do Jacobiano vale \bigl|\det \tfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\bigr| = a\,b\,c. Passo 3O volume do elipsoide é V = \iiint_{E}dV = \iiint_{D} \bigl|\det \tfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\bigr|\;du\,dv\,dw = a\,b\,c \;\iiint_{D}du\,dv\,dw. Passo 4Sabemos que o volume da bola unitária em \mathbb{R}^{3} é \iiint_{D}du\,dv\,dw = \frac{4}{3}\pi. Logo V = a\,b\,c \;\frac{4}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi\,a\,b\,c. Resposta V = \frac{4}{3}\,\pi\,a\,b\,c. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre o jacobiano ∂(x, y) / ∂(u, v) da transformação: x=u \cos v, \quad y=u \operatorname{sen} v Encontre o jacobiano ∂(x, y) / ∂(u, v) da transformação: x=u \cos v, \quad y=u \operatorname{sen} v Calcule \iiint|x y z| d x d y d z sobre o elipsoide sólido \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1 . Calcule \iiint|x y z| d x d y d z sobre o elipsoide sólido \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1 .