1. Volume de um elipsoide Encontre o volume do elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 .

Passo 1

O enunciado pede o volume do elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
O conteúdo envolve cálculo de volume por integral tripla e uso de mudança de variáveis (Jacobian). Vamos transformar o elipsoide numa bola unitária em (u,v,w).

Passo 2

Definimos a transformação
x = a\,u,\quad y = b\,v,\quad z = c\,w.
Sob essa mudança, a região do elipsoide vira
D = \{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1\},
e o determinante do Jacobiano vale
\bigl|\det \tfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\bigr| = a\,b\,c.

Passo 3

O volume do elipsoide é
V = \iiint_{E}dV = \iiint_{D} \bigl|\det \tfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\bigr|\;du\,dv\,dw = a\,b\,c \;\iiint_{D}du\,dv\,dw.

Passo 4

Sabemos que o volume da bola unitária em \mathbb{R}^{3} é
\iiint_{D}du\,dv\,dw = \frac{4}{3}\pi.
Logo
V = a\,b\,c \;\frac{4}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi\,a\,b\,c.

Resposta

V = \frac{4}{3}\,\pi\,a\,b\,c.

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