Calcule:
(a)
\iint_{B} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} d x d y, onde B é a região entre as circunferências x^{2}+y^{2}=a^{2} e x^{2}+y^{2}=b^{2}, com 0<a<b.
(b) \iint_{B}(2 x-y) d x d y, onde B é a região do 1^{\underline{\mathrm{o}}} quadrante limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=4 e pelas retas x=0 e y=x.
(c) \iint_{B} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) d A, onde B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, \quad 0 \leq y \leq x\right\}.
(d) \iint_{B} x d A, onde B é a região do 1^{\mathrm{o}} quadrante que se encontra entre as circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=2 x.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas em cada item (não vou resolver nada ainda).
(a) Calcular \iint_{B}\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy, onde B é a região entre as circunferências \,x^{2}+y^{2}=a^{2}\, e \,x^{2}+y^{2}=b^{2}\, com 0<a<b.
(b) Calcular \iint_{B}(2x-y)\,dx\,dy, onde B é a região do 1.º quadrante limitada pela circunferência \,x^{2}+y^{2}=4\, e pelas retas x=0 e y=x.
(c) Calcular \iint_{B}\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{y}{x}\right)\,dA, onde B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 4,\;0\le y\le x\}.
(d) Calcular \iint_{B} x\,dA, onde B é a região do 1.º quadrante que se encontra entre as circunferências \,x^{2}+y^{2}=4\, e \,x^{2}+y^{2}=2x\,.

Passo 2

Antes de entrar em cada item, uma explicação prática e didática sobre coordenadas polares (que vamos usar em todos os itens): em coordenadas polares um ponto é (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido desde o eixo x positivo. Ao trocar de variáveis dx\,dy para r,\theta aparece o fator jacobiano r, isto é,
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicando um pouco: o elemento de área em coordenadas polares é um “pequeno setor” com área aproximadamente base \,r\,d\theta vezes altura dr, por isso r\,dr\,d\theta. Sempre que houver funções que dependem de x^{2}+y^{2} ou de y/x, polares costuma simplificar muito: \,x^{2}+y^{2}=r^{2} e \,y/x=\tan\theta (desde que x\neq0, e nos quadrantes apropriados \arctan(y/x)=\theta quando 0\le\theta<\pi/2, por exemplo).
Agora vamos aplicar isso em cada item, escolhendo os limites de r e \theta a partir das curvas que limitam B.

Passo 3

Resolvendo (a). Região: anel entre círculos de raios a e b, ou seja \,r\in[a,b] e \theta\in[0,2\pi].
Transformação da integranda para polares:
y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}}=\sin^{2}\theta.
O elemento de área é dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Assim a integral fica
\iint_{B}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy =\int_{0}^{2\pi}\int_{a}^{b}\sin^{2}\theta\; r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Continuando (a): como a integranda separa em função de r vezes função de \theta, separamos as integrais:
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta \cdot \int_{a}^{b} r\,dr.
Calcule cada uma:
  • \displaystyle \int_{a}^{b} r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{a}^{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2}.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta usamos a identidade \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Então
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Big[2\pi - 0\Big]=\pi.
Multiplicando:
\iint_{B}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy =\pi\cdot\frac{b^{2}-a^{2}}{2}=\frac{\pi}{2}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr).

Passo 5

Resolvendo (b). Primeiro identificar a região B: é no 1.º quadrante (ou seja x\ge0,y\ge0), limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 (raio 2), pela reta x=0 (eixo y) e pela reta y=x (linha de 45^\circ). Em termos de ângulos, a reta y=x corresponde a \theta=\pi/4 e a reta x=0 corresponde a \theta=\pi/2. Portanto para pontos no primeiro quadrante entre essas duas retas temos \theta\in[\pi/4,\pi/2]. Radialmente, o círculo dá r\le 2, e a região vai do centro até o círculo, logo r\in[0,2].
Em polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta.
A integranda 2x-y vira 2r\cos\theta - r\sin\theta = r(2\cos\theta-\sin\theta). Com o jacobiano:
(2x-y)\,dx\,dy = r(2\cos\theta-\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}(2\cos\theta-\sin\theta)\,dr\,d\theta.
Logo
\iint_{B}(2x-y)\,dx\,dy=\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} r^{2}(2\cos\theta-\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Continuando (b): calcule a integral em r:
\int_{0}^{2} r^{2}\,dr=\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
Portanto
\iint_{B}(2x-y)\,dx\,dy =\frac{8}{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Integramos em \theta:
\int\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta = 2\sin\theta + \cos\theta + C.
Avalia em [\pi/4,\pi/2]:
  • Em \theta=\pi/2: 2\sin(\pi/2)+\cos(\pi/2)=2\cdot1+0=2.
  • Em \theta=\pi/4: \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então 2\sin(\pi/4)+\cos(\pi/4)=2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
    A diferença é 2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}. Multiplicando por \dfrac{8}{3}:
\iint_{B}(2x-y)\,dx\,dy = \frac{8}{3}\Big(2-\frac{3\sqrt{2}}{2}\Big) = \frac{16}{3} - 4\sqrt{2}.

Passo 7

Resolvendo (c). A região B é o anel entre r=1 e r=2 (pois 1\le r^{2}\le4 implica 1\le r\le2), e a condição 0\le y\le x corresponde a 0\le\theta\le\pi/4 (no 1.º quadrante entre o eixo x e a reta y=x). Em polares a função \operatorname{arctg}(y/x) para 0\le\theta\le\pi/2 é simplesmente \theta. O elemento de área é r\,dr\,d\theta. Logo
\iint_{B}\operatorname{arctg}\!\Big(\frac{y}{x}\Big)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2} \theta\; r\,dr\,d\theta.

Passo 8

Continuando (c): primeiro integramos em r:
\int_{1}^{2} r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{1}^{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}.
Portanto a integral fica
\frac{3}{2}\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta =\frac{3}{2}\left.\frac{\theta^{2}}{2}\right|_{0}^{\pi/4} =\frac{3}{2}\cdot\frac{(\pi/4)^{2}}{2} =\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{32} =\frac{3\pi^{2}}{64}.

Passo 9

Resolvendo (d). Primeiro identificar as curvas em polares:
  • A circunferência \,x^{2}+y^{2}=4\, é r^{2}=4, ou seja r=2.
  • A outra circunferência \,x^{2}+y^{2}=2x\, em polares é r^{2}=2r\cos\theta. Para r>0 isso dá
r=2\cos\theta.
A região pedida está no 1.º quadrante; aí \theta\in[0,\pi/2]. Para cada \theta nesse intervalo, o valor de r fica entre o círculo interno r=2\cos\theta e o externo r=2. Note que 2\cos\theta\le2 para 0\le\theta\le\pi/2, e em \theta=\pi/2 a curva interna dá r=0. Portanto os limites são \theta\in[0,\pi/2] e r\in[\,2\cos\theta,\;2\,].
A integranda é x. Em polares x=r\cos\theta, com jacobiano r, dá
x\,dA = r\cos\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.
Assim
\iint_{B} x\,dA = \int_{0}^{\pi/2}\int_{2\cos\theta}^{2} r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 10

Continuando (d): integramos em r:
\int_{2\cos\theta}^{2} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{2\cos\theta}^{2} =\frac{8}{3}-\frac{8\cos^{3}\theta}{3}=\frac{8}{3}\bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr).
Multiplicando pelo fator \cos\theta que estava fora:
\iint_{B} x\,dA = \int_{0}^{\pi/2} \frac{8}{3}\cos\theta\bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr)\,d\theta =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\cos\theta-\cos^{4}\theta\bigr)\,d\theta.
Agora calcule as duas integrais:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \left.\sin\theta\right|_{0}^{\pi/2}=1.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta usamos identidades de ângulo duplo. Primeiro
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2},
logo
\cos^{4}\theta=\Big(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\Big)^{2} =\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos2\theta+\cos^{2}2\theta\bigr).
Aplicando novamente \cos^{2}2\theta=\dfrac{1+\cos4\theta}{2} obtemos
\cos^{4}\theta=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2\theta+\frac{1}{8}\cos4\theta.
Integrando de 0 a \pi/2, os termos com \cos2\theta e \cos4\theta têm integral zero (seno avaliado em múltiplos de \pi), portanto
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}.

Passo 11

Finalizando (d): substituindo os valores:
\iint_{B} x\,dA = \frac{8}{3}\Big(1-\frac{3\pi}{16}\Big) =\frac{8}{3} - \frac{8}{3}\cdot\frac{3\pi}{16} =\frac{8}{3} - \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)
\displaystyle \frac{16}{3}-4\sqrt{2}
\displaystyle \frac{3\pi^{2}}{64}
\displaystyle \frac{8}{3}-\frac{\pi}{2}

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