Calcule:
(a) \iint_{B} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} d x d y, onde B é a região entre as circunferências x^{2}+y^{2}=a^{2} e x^{2}+y^{2}=b^{2}, com 0<a<b.
(b) \iint_{B}(2 x-y) d x d y, onde B é a região do 1^{\underline{\mathrm{o}}} quadrante limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=4 e pelas retas x=0 e y=x.
(c) \iint_{B} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) d A, onde B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, \quad 0 \leq y \leq x\right\}.
(d) \iint_{B} x d A, onde B é a região do 1^{\mathrm{o}} quadrante que se encontra entre as circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=2 x.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas em cada item (não vou resolver nada ainda).
(a) Calcular \iint_{B}\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy, onde B é a região entre as circunferências \,x^{2}+y^{2}=a^{2}\, e \,x^{2}+y^{2}=b^{2}\, com 0<a<b.
(b) Calcular \iint_{B}(2x-y)\,dx\,dy, onde B é a região do 1.º quadrante limitada pela circunferência \,x^{2}+y^{2}=4\, e pelas retas x=0 e y=x.
(c) Calcular \iint_{B}\operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{y}{x}\right)\,dA, onde B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 4,\;0\le y\le x\}.
(d) Calcular \iint_{B} x\,dA, onde B é a região do 1.º quadrante que se encontra entre as circunferências \,x^{2}+y^{2}=4\, e \,x^{2}+y^{2}=2x\,.
Passo 2
Antes de entrar em cada item, uma explicação prática e didática sobre coordenadas polares (que vamos usar em todos os itens): em coordenadas polares um ponto é (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido desde o eixo x positivo. Ao trocar de variáveis dx\,dy para r,\theta aparece o fator jacobiano r, isto é,
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicando um pouco: o elemento de área em coordenadas polares é um “pequeno setor” com área aproximadamente base \,r\,d\theta vezes altura dr, por isso r\,dr\,d\theta. Sempre que houver funções que dependem de x^{2}+y^{2} ou de y/x, polares costuma simplificar muito: \,x^{2}+y^{2}=r^{2} e \,y/x=\tan\theta (desde que x\neq0, e nos quadrantes apropriados \arctan(y/x)=\theta quando 0\le\theta<\pi/2, por exemplo).
Agora vamos aplicar isso em cada item, escolhendo os limites de r e \theta a partir das curvas que limitam B.
Passo 3
Resolvendo (a). Região: anel entre círculos de raios a e b, ou seja \,r\in[a,b] e \theta\in[0,2\pi].
Resolvendo (b). Primeiro identificar a região B: é no 1.º quadrante (ou seja x\ge0,y\ge0), limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 (raio 2), pela reta x=0 (eixo y) e pela reta y=x (linha de 45^\circ). Em termos de ângulos, a reta y=x corresponde a \theta=\pi/4 e a reta x=0 corresponde a \theta=\pi/2. Portanto para pontos no primeiro quadrante entre essas duas retas temos \theta\in[\pi/4,\pi/2]. Radialmente, o círculo dá r\le 2, e a região vai do centro até o círculo, logo r\in[0,2].
\int\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta = 2\sin\theta + \cos\theta + C.
Avalia em [\pi/4,\pi/2]:
Em \theta=\pi/2: 2\sin(\pi/2)+\cos(\pi/2)=2\cdot1+0=2.
Em \theta=\pi/4: \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então 2\sin(\pi/4)+\cos(\pi/4)=2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
A diferença é 2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}. Multiplicando por \dfrac{8}{3}:
Resolvendo (c). A região B é o anel entre r=1 e r=2 (pois 1\le r^{2}\le4 implica 1\le r\le2), e a condição 0\le y\le x corresponde a 0\le\theta\le\pi/4 (no 1.º quadrante entre o eixo x e a reta y=x). Em polares a função \operatorname{arctg}(y/x) para 0\le\theta\le\pi/2 é simplesmente \theta. O elemento de área é r\,dr\,d\theta. Logo
Resolvendo (d). Primeiro identificar as curvas em polares:
A circunferência \,x^{2}+y^{2}=4\, é r^{2}=4, ou seja r=2.
A outra circunferência \,x^{2}+y^{2}=2x\, em polares é r^{2}=2r\cos\theta. Para r>0 isso dá
r=2\cos\theta.
A região pedida está no 1.º quadrante; aí \theta\in[0,\pi/2]. Para cada \theta nesse intervalo, o valor de r fica entre o círculo interno r=2\cos\theta e o externo r=2. Note que 2\cos\theta\le2 para 0\le\theta\le\pi/2, e em \theta=\pi/2 a curva interna dá r=0. Portanto os limites são \theta\in[0,\pi/2] e r\in[\,2\cos\theta,\;2\,].
A integranda é x. Em polares x=r\cos\theta, com jacobiano r, dá