Calcule:
(a) \iiint_{E} \frac{z}{x^{2}+z^{2}} d x d y d z, onde E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq y \leq 4, \quad y \leq z \leq 4,0 \leq x \leq z\right\}.
(b) \iiint_{E} x d x d y d z, onde E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1, x+y \leq z \leq x+y+1\right\}.
(c) \iiint_{E} x^{2} d V, onde E é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas em cada item (sem resolver nada ainda).
(a) Calcular \iiint_{E}\dfrac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx\,dy\,dz, com
As quantidades dadas: os limites retangulares em x e y e o limite em z dependente de x,y.
(c) Calcular \iiint_{E} x^{2}\,dV, onde E é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
As quantidades dadas: vértices do tetraedro, o que implica x\ge0,y\ge0,z\ge0 e x+y+z\le1.
Passo 2
Resolver (a). Primeiro escrevemos a integral com os limites sugeridos pelo enunciado, usando a ordem dx\,dz\,dy (ou dx\,dz\,dy equivalente a integrar x primeiro, depois z, depois y):
Explico por que esses limites: o enunciado dá 1\le y\le4. Para cada y, z varia de z=y até 4. Para cada z, x varia de 0 até z. Pronto — integral corretamente parametrizada.
Passo 3
Calcular a integral interna em x:
\int_{x=0}^{z}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dx.
Aqui uma observação útil: a derivada de \arctan\!\big(\dfrac{x}{z}\big) em relação a x vale
Calcular a integral em y. Faço a substituição simples t=1-z-y (ou reconhecer que a integral é a integral de t^{3} de t=1-z a t=0 com sinal trocado). Explicitamente: