A função Gamma \Gamma é definida como \Gamma(n)=\int_{0}^{+\infty} x^{n-1} e^{-x} d x para todo real positivo n. Determine \Gamma(1), \Gamma(2) e \Gamma(3).

Passo 1

O enunciado fornece a definição da função Gama e pede valores específicos. Dados e pedidos extraídos do enunciado:
  • Definição: \Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x^{\,n-1} e^{-x}\,dx para todo real positivo n.
  • Pedidos: determinar \Gamma(1), \Gamma(2) e \Gamma(3).

Passo 2

Calcular \Gamma(1) diretamente a partir da definição. Substituindo n=1 na integral:
\Gamma(1)=\int_{0}^{+\infty} x^{1-1} e^{-x}\,dx=\int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx.
Agora avaliar a integral imprópria. Para A>0,
\int_{0}^{A} e^{-x}\,dx=\bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{A}=1-e^{-A}.
Fazendo A\to+\infty obtemos 1-e^{-A}\to1. Portanto
\Gamma(1)=1.

Passo 3

Derivar uma relação útil por integração por partes (isso ajuda a calcular \Gamma em inteiros maiores). Considere, para \alpha>0,
\Gamma(\alpha+1)=\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha} e^{-x}\,dx.
Aplicando integração por partes: escolha u=x^{\alpha} e dv=e^{-x}\,dx. Então du=\alpha x^{\alpha-1}\,dx e v=-e^{-x}. Assim
\int_{0}^{A} x^{\alpha} e^{-x}\,dx = \bigl[-x^{\alpha}e^{-x}\bigr]_{0}^{A} + \alpha\int_{0}^{A} x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx.
Agora avaliamos o termo de fronteira quando A\to+\infty e em 0:
  • Como x^{\alpha} e^{-x}\to0 quando x\to+\infty (a exponencial vence qualquer potência), o termo em +\infty é 0.
  • Para x\to0^+ e \alpha>0, tem-se x^{\alpha} e^{-x}\to0.
    Logo o termo de fronteira total é 0, e passando ao limite A\to+\infty vem
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx=\alpha\,\Gamma(\alpha).
Portanto obtivemos a relação de recorrência
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha),
válida para \alpha>0.

Passo 4

Usar a recorrência para calcular \Gamma(2). Tomando \alpha=1 na relação \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha),
\Gamma(2)=1\cdot\Gamma(1)=\Gamma(1).
Como no Passo 2 demonstramos \Gamma(1)=1, conclui-se que
\Gamma(2)=1.
(Facultativamente, pode-se verificar diretamente: \Gamma(2)=\int_{0}^{+\infty} x e^{-x}\,dx. Fazendo integração por partes com u=x, dv=e^{-x}dx obtém-se 1.)

Passo 5

Calcular \Gamma(3) usando a recorrência mais uma vez. Tome \alpha=2:
\Gamma(3)=2\cdot\Gamma(2).
Já sabemos \Gamma(2)=1, logo
\Gamma(3)=2\cdot1=2.

Passo 6

Comentário final de entendimento (útil para prova): para inteiros positivos n a recorrência e o valor \Gamma(1)=1 implicam por indução que
\Gamma(n)=(n-1)!
Assim \Gamma(1)=0! =1, \Gamma(2)=1!=1 e \Gamma(3)=2!=2.

Resposta

\Gamma(1)=1
\Gamma(2)=1
\Gamma(3)=2

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