A função Gamma
é definida como
para todo real positivo
. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado fornece a definição da função Gama e pede valores específicos. Dados e pedidos extraídos do enunciado:
- Definição:
para todo real positivo . - Pedidos: determinar
, e .
Passo 2
Calcular
diretamente a partir da definição. Substituindo
na integral:
Agora avaliar a integral imprópria. Para
,
Fazendo
obtemos
. Portanto
Passo 3
Derivar uma relação útil por integração por partes (isso ajuda a calcular
em inteiros maiores). Considere, para
,
Aplicando integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Assim
Agora avaliamos o termo de fronteira quando
e em
:
- Como
quando (a exponencial vence qualquer potência), o termo em é . - Para
e , tem-se .
Logo o termo de fronteira total é, e passando ao limite vem
Portanto obtivemos a relação de recorrência
válida para
.
Passo 4
Usar a recorrência para calcular
. Tomando
na relação
,
Como no Passo 2 demonstramos
, conclui-se que
(Facultativamente, pode-se verificar diretamente:
. Fazendo integração por partes com
,
obtém-se
.)
Passo 5
Calcular
usando a recorrência mais uma vez. Tome
:
Já sabemos
, logo
Passo 6
Comentário final de entendimento (útil para prova): para inteiros positivos
a recorrência e o valor
implicam por indução que
Assim
,
e
.