2^{a} ) Calcule:
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y, onde D é o disco unitário centrado na origem;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \,dx\,dy,
onde D é o disco de raio 1 centrado na origem. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois a função depende de x^{2}+y^{2} e o domínio é um círculo.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com diferencial \,dx\,dy = r\,dr\,d\theta, r\in[0,1] e \theta\in[0,2\pi]. Assim a integral vira
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} e^{-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r. Use u=r^{2}, então du=2r\,dr e r\,dr=du/2:
\int_{0}^{1} e^{-r^{2}}\;r\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta = 2\pi,
portanto
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \,dx\,dy = 2\pi \times \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr) = \pi\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Resposta

\displaystyle \pi\bigl(1 - e^{-1}\bigr)

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