2^{a} ) Calcule: \iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y, onde D é o disco unitário centrado na origem;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \,dx\,dy,
onde D é o disco de raio 1 centrado na origem. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois a função depende de x^{2}+y^{2} e o domínio é um círculo.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com diferencial \,dx\,dy = r\,dr\,d\theta, r\in[0,1] e \theta\in[0,2\pi]. Assim a integral vira