1. Vapor d’água saturado à pressão absoluta de 143,1 \mathrm{kPa} será usado para aquecimento de ketchup, em um trocador de calor de duplo tubo. Os tubos interno e externo do trocador de calor são respectivamente de 2^{\prime \prime} Schedule \mathrm{n}^{\circ} 40 e 3^{\prime \prime} Schedule \mathrm{n}^{\circ} 40 com isolamento térmico apropriado. A condutividade térmica do metal é de 15 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~K}^{-1} \cdot \mathrm{~m}^{-1}. O comprimento total de um grampo do trocador é de 3,6 \mathrm{~m}. A vazão do produto na entrada é de 2,5 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~h}^{-1} e temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}. Sua temperatura de saída deve ser de 90^{\circ} \mathrm{C}. Para as propriedades do ketchup, podem-se adotar os seguintes valores médios:
    calor específico =3840 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~kg}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1},
    densidade =1000 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3}
    condutividade térmica =0,50 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~K}^{-1} \cdot \mathrm{~m}^{-1}.
    viscosidade =1,4 \mathrm{mPa} \cdot \mathrm{s},
    O coeficiente de convecção associado à condensação do vapor na superfície do tubo é de 5000 \mathrm{W} \cdot \mathrm{K}^{-1} \cdot \mathrm{~m}^{-2}. Determine: (i) o coeficiente convectivo do produto e o coeficiente global de troca térmica; (ii) a carga térmica; (iii) a vazão de condensado que será coletada do ânulo do trocador. (R: \mathrm{h}=1043 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} ; \mathrm{U}=632 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} ; \mathrm{q}=107 \mathrm{~kW} ; \mathrm{A}=4,65 \mathrm{~m}^{2} ; w_{\text {cond. }}=173 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} )

Passo 1

O enunciado trata de um trocador de calor de duplo tubo, em que vapor d’água saturado a 143{,}1\\ \mathrm{kPa} condensa no casco externo do tubo interno, enquanto ketchup flui pelo interior do tubo de 2'' Schedule 40. Vamos:
  1. Calcular o coeficiente convectivo interno do ketchup usando correlações de escoamento turbulento.
  2. Montar a resistência térmica em série (convecção interna, condução na parede, convecção externa) para obter o coeficiente global baseado na área externa do tubo interno.
  3. Determinar a carga térmica a partir do balanço de energia do ketchup.
  4. Calcular a área necessária via LMTD.
  5. Obter a vazão de condensado usando a entalpia de vaporização.

Passo 2

Determinar o coeficiente convectivo interno h_i:
  • Diâmetro interno D_i=0{,}052505\\ \mathrm{m} (tubo 2’’ Sch 40: OD 60{,}325\\ \mathrm{mm}, espessura 3{,}91\\ \mathrm{mm}).
  • Vazão volumétrica \dot V=2{,}5\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}=0{,}0006944\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{s}.
  • Área de escoamento
A=\frac{\pi D_i^2}{4}=0{,}002164\\ \mathrm{m}^2
  • Velocidade média
v=\frac{\dot V}{A}=0{,}0006944/0{,}002164=0{,}321\\ \mathrm{m/s}
  • Número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D_i}{\mu} =\frac{1000\cdot0{,}321\cdot0{,}052505}{1{,}4\times10^{-3}} \approx1{,}2\times10^4
  • Número de Prandtl
\mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k} =\frac{3840\cdot1{,}4\times10^{-3}}{0{,}50} \approx10{,}75
  • Aplicando Dittus–Boelter
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4} \approx109
  • Logo
h_i =\frac{k\,\mathrm{Nu}}{D_i} =\frac{0{,}50\cdot109}{0{,}052505} \approx1\,043\\ \mathrm{W/m^2K}

Passo 3

Calcular o coeficiente global U baseado na área externa do tubo interno (diâmetro D_o=60{,}325\\ \mathrm{mm}):
  • Resistências por metro de comprimento:
    convecção interna
    \;R_i=1/(h_i\pi D_i)=1/(1043\cdot\pi\cdot0{,}052505)\approx0{,}00581\\ \mathrm{K/W},
    condução na parede
    \;R_{\text{cond}}=\ln(D_o/D_i)/(2\pi k_m) =\ln(60{,}325/52{,}505)/(2\pi\cdot15)\approx0{,}00148\\ \mathrm{K/W},
    convecção externa
    \;R_o=1/(h_o\pi D_o)=1/(5000\cdot\pi\cdot0{,}060325)\approx0{,}00105\\ \mathrm{K/W}.
  • Soma das resistências
R_{\text{tot}} =R_i+R_{\text{cond}}+R_o \approx0{,}00581+0{,}00148+0{,}00105 =0{,}00834\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}
  • Coeficiente global baseado em D_o
U =\frac{1}{R_{\text{tot}}\;\pi D_o} =\frac{1}{0{,}00834\cdot\pi\cdot0{,}060325} \approx632\\ \mathrm{W/m^2K}

Passo 4

Determinar a carga térmica q necessária para elevar o ketchup de 50^\circ\mathrm C a 90^\circ\mathrm C:
  • Vazão mássica \dot m=\rho\,\dot V=1000\cdot(2{,}5/3600)\approx0{,}6944\\ \mathrm{kg/s}.
q =\dot m\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}) =0{,}6944\cdot3840\cdot(90-50) \approx1{,}0667\times10^5\\ \mathrm W \approx107\\ \mathrm{kW}

Passo 5

Calcular a área A pelo LMTD:
  • Temperatura de saturação do vapor a 143{,}1\\ \mathrm{kPa}: T_s\approx110^\circ\mathrm C.
  • \Delta T_1=110-50=60\\ \mathrm K,\quad\Delta T_2=110-90=20\\ \mathrm K.

\Delta T_{\text{lm}} =\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} =\frac{60-20}{\ln(60/20)} \approx36{,}4\\ \mathrm K

A =\frac{q}{U\,\Delta T_{\text{lm}}} =\frac{1{,}0667\times10^5}{632\cdot36{,}4} \approx4{,}65\\ \mathrm m^2

Passo 6

Vazão de condensado \dot m_{\text{cond}}:
  • Entalpia de vaporização a 110^\circ\mathrm C: h_{fg}\approx2{,}217\times10^6\\ \mathrm{J/kg}.
\dot m_{\text{cond}} =\frac{q}{h_{fg}} =\frac{1{,}0667\times10^5}{2{,}217\times10^6} \approx0{,}0481\\ \mathrm{kg/s} \approx173\\ \mathrm{kg/h}

Resposta

(i) h_i=1\,043\\ \mathrm{W/m^2K}, \quad U=632\\ \mathrm{W/m^2K}
(ii) q=107\\ \mathrm{kW}
(iii) \dot m_{\text{cond}}=173\\ \mathrm{kg/h}

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