Calcule:
\iint_{D}\left(2 x^{2}-y\right) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(2x^{2}-y\bigr)\,dA,
onde D é o retângulo definido por 0\le y\le1 e 0\le x\le2. Como o integrando é contínuo em D, podemos usar o Teorema de Fubini e escrever a integral dupla como uma integral iterada.

Passo 2

Escolhemos integrar primeiro em y (mantendo x fixo) e depois em x. Assim,
\iint_{D}\bigl(2x^{2}-y\bigr)\,dA =\int_{x=0}^{2}\Bigl[\int_{y=0}^{1}\bigl(2x^{2}-y\bigr)\,dy\Bigr]\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}-y\bigr)\,dy =2x^{2}\int_{0}^{1}dy-\int_{0}^{1}y\,dy =2x^{2}\cdot1-\frac{1}{2} =2x^{2}-\frac{1}{2}.
Logo a integral torna-se
\int_{0}^{2}\Bigl(2x^{2}-\tfrac{1}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}\Bigl(2x^{2}-\tfrac{1}{2}\Bigr)\,dx =2\int_{0}^{2}x^{2}\,dx-\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2}dx =2\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2}-\tfrac{1}{2}[x]_{0}^{2} =2\cdot\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{2}\cdot2 =\tfrac{16}{3}-1 =\tfrac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{3}

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