Calcule o volume da região limitada por:
z=4-x^{2}-y^{2}, \quad z=0
sobre o domínio D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região entre o paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e o plano z=0, sobre o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}. O conteúdo é cálculo de um volume por integral dupla e vamos usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Escrevemos o volume V como integral dupla sobre D da diferença entre as superfícies superior e inferior, ou seja,
V = \iint_{D} \bigl(4 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dA.

Passo 3

Em coordenadas polares, com x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA = r\,dr\,d\theta, o disco vira 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi. A integral fica
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \bigl(4 - r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2} \bigl(4r - r^{3}\bigr)\,dr = \left[2r^{2} - \tfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \bigl(8 - 4\bigr) =4.
Em seguida,
V = \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 4\cdot 2\pi = 8\pi.

Resposta

8\pi

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