Calcule \iint_{S} g(x, y, z) d S, onde g(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} ; S é parte do plano z+y=8 interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=49.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} g(x,y,z)\,dS,
onde g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e S é a porção do plano z+y=8 que fica por dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}=49.\n
Informações dadas:
  • A função a integrar é g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.\n
  • A superfície S é a parte do plano definido por z+y=8 limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=49 (ou seja, a projeção de S no plano xy é o disco \,x^{2}+y^{2}\le 49).\n
    O que é pedido: calcular o valor numérico da integral de superfície \iint_{S} g\,dS.\n
    Nada mais será pedido nem assumido; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Escolher uma maneira prática de calcular \iint_{S} g\,dS. Uma maneira simples é ver o plano como gráfico de uma função z=f(x,y) sobre o domínio projetado no plano xy, e usar a fórmula para integral de superfície de uma função escalar sobre um gráfico.
Fórmula útil (explicada): se S é o gráfico z=f(x,y) sobre um domínio D no plano xy, então
\iint_{S} g(x,y,z)\,dS = \iint_{D} g\big(x,y,f(x,y)\big)\,\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\;dA.
Aqui:
  • f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y;
  • dA é o elemento de área no plano xy (ou seja, dA = dx\,dy);
  • a raiz \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} corrige a área do elemento do plano xy para a área na superfície inclinada.
No nosso caso, o plano z+y=8 pode ser escrito como
z = f(x,y) = 8 - y.
A projeção D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 49\}. Vamos aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f e a fator de correção da área:
f_{x} = \frac{\partial}{\partial x}(8-y)=0,\qquad f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(8-y)=-1.
Portanto
\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}=\sqrt{1+0+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
Isso é ótimo: o fator é constante, o que simplifica bastante a integral.

Passo 4

Escrever a integral sobre o domínio D:
\iint_{S} g\,dS = \iint_{D} \big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)\Big|_{z=8-y}\sqrt{2}\;dA = \sqrt{2}\iint_{D}\big(x^{2}+y^{2}+(8-y)^{2}\big)\;dA.
Para integrar sobre o disco D é natural usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le 7 e 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 5

Converter o integrando para polares e simplificar passo a passo.
Primeiro expandir o integrando em x,y:
x^{2}+y^{2}+(8-y)^{2}=x^{2}+y^{2}+64-16y+y^{2}=x^{2}+2y^{2}-16y+64.
Agora em polares ( x^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta,\; y^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta,\; y=r\sin\theta):
x^{2}+2y^{2}-16y+64 = r^{2}\cos^{2}\theta + 2r^{2}\sin^{2}\theta -16r\sin\theta +64 = r^{2}\big(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta\big)-16r\sin\theta+64.
Como \cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta=1+\sin^{2}\theta, fica
\text{integrando} = r^{2}\big(1+\sin^{2}\theta\big)-16r\sin\theta+64.
Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta e pelo fator \sqrt{2}, a integral torna-se
\iint_{S} g\,dS = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{7}\Big[ r^{3}\big(1+\sin^{2}\theta\big)-16r^{2}\sin\theta+64r\Big]dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em r explicitamente (fazendo cada termo separadamente):
  • \displaystyle \int_{0}^{7} r^{3}\,dr = \frac{7^{4}}{4}=\frac{2401}{4}.
  • \displaystyle \int_{0}^{7} r^{2}\,dr = \frac{7^{3}}{3}=\frac{343}{3}.
  • \displaystyle \int_{0}^{7} r\,dr = \frac{7^{2}}{2}=\frac{49}{2}.
Aplicando esses resultados:
\int_{0}^{7}\Big[ r^{3}\big(1+\sin^{2}\theta\big)-16r^{2}\sin\theta+64r\Big]dr = \big(1+\sin^{2}\theta\big)\frac{2401}{4} -16\sin\theta\cdot\frac{343}{3} + 64\cdot\frac{49}{2}.
Calcular constantes numéricas:
64\cdot\frac{49}{2}=32\cdot49=1568, \qquad 16\cdot343=5488,
portanto a expressão em \theta é
\frac{2401}{4}\big(1+\sin^{2}\theta\big) - \frac{5488}{3}\sin\theta + 1568.
Somando os termos constantes \frac{2401}{4}+1568=\frac{2401+6272}{4}=\frac{8673}{4}, temos
\text{integrando em }\theta = \frac{8673}{4} + \frac{2401}{4}\sin^{2}\theta - \frac{5488}{3}\sin\theta.

Passo 7

Integrar em \theta no intervalo [0,2\pi]. Observações úteis (explicadas):
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0 porque \sin\theta é função ímpar em torno do ponto médio do período.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \pi, pois \sin^{2} tem média 1/2 em um período e o comprimento do intervalo é 2\pi.
Assim
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{8673}{4} + \frac{2401}{4}\sin^{2}\theta - \frac{5488}{3}\sin\theta\right)d\theta = \frac{8673}{4}\cdot 2\pi + \frac{2401}{4}\cdot \pi + 0.
Calcular:
\frac{8673}{4}\cdot 2\pi = \frac{8673}{2}\pi,\qquad \frac{2401}{4}\cdot\pi=\frac{2401}{4}\pi.
Somando:
\frac{8673}{2}\pi+\frac{2401}{4}\pi = \left(\frac{17346+2401}{4}\right)\pi = \frac{19747}{4}\pi.

Passo 8

Lembrando o fator \sqrt{2} que estava fora das integrais, obtém-se o resultado final:
\iint_{S} g\,dS = \sqrt{2}\cdot \frac{19747}{4}\pi = \frac{19747\pi}{4}\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{19747\pi}{4}\sqrt{2}

Exercícios relacionados