Calcule \iint_{S} g(x, y, z) d S, onde g(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} ; S é parte do plano z+y=8 interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=49.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} g(x,y,z)\,dS,
onde g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e S é a porção do plano z+y=8 que fica por dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}=49.\n
Informações dadas:
A função a integrar é g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.\n
A superfície S é a parte do plano definido por z+y=8 limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=49 (ou seja, a projeção de S no plano xy é o disco \,x^{2}+y^{2}\le 49).\n
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral de superfície \iint_{S} g\,dS.\n
Nada mais será pedido nem assumido; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Escolher uma maneira prática de calcular \iint_{S} g\,dS. Uma maneira simples é ver o plano como gráfico de uma função z=f(x,y) sobre o domínio projetado no plano xy, e usar a fórmula para integral de superfície de uma função escalar sobre um gráfico.
Fórmula útil (explicada): se S é o gráfico z=f(x,y) sobre um domínio D no plano xy, então