Ache \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S se \mathbf{n} é uma normal unitária superior de S.
\mathbf{F}=x(i)+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} ; S é a parte do plano 3 x+2 y+z=6 interceptada pelos planos x=0, y=0, x=1 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
onde está dado:
  • \mathbf{F}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
  • S é a parte do plano 3x+2y+z=6 interceptada pelos planos x=0,\;y=0,\;x=1,\;y=2.
  • A normal \mathbf{n} é a normal unitária “superior” (ou seja, com componente z positiva).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O plano pode ser escrito como função z=g(x,y) com
z = 6-3x-2y.
  • A região na base (projeção de S no plano xy) é o retângulo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (de forma didática e sem pular etapas).
Quando uma superfície é o gráfico de uma função z=g(x,y) sobre uma região D do plano xy, uma forma prática de calcular o fluxo com orientação para cima é usar a parametrização
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)),\qquad (x,y)\in D.
Explicando por que isso funciona (passo-a-passo):
  • Derivadas parciais: \mathbf{r}_x=(1,0,g_x) e \mathbf{r}_y=(0,1,g_y), onde g_x=\dfrac{\partial g}{\partial x} e g_y=\dfrac{\partial g}{\partial y}.
  • O produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y é um vetor normal (não unitário) à superfície. Calculando:
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,-g_y,1).
  • O elemento de área da superfície é |\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y|\,dA=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dA.
  • A normal unitária com orientação para cima é
\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y}{|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y|}.
  • Portanto o integrando do fluxo fica
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \mathbf{F}\cdot\left(\frac{\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y}{|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y|}\right)\,|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y|\,dA = \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)\,dA.
Ou seja, para uma superfície dada por z=g(x,y) com orientação para cima,
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \mathbf{F}\cdot(-g_x,-g_y,1)\,dA.
Isso simplifica muito os cálculos: só é preciso calcular g_x,g_y, substituir z=g(x,y) e integrar sobre D.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto: determinar g_x, g_y e o vetor normal (não unitário).
Temos g(x,y)=6-3x-2y. Então
g_x = \frac{\partial}{\partial x}(6-3x-2y) = -3, \qquad g_y = \frac{\partial}{\partial y}(6-3x-2y) = -2.
Logo
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,-g_y,1) = (3,2,1).
Note que a componente z desse vetor é 1>0, logo ele já aponta “para cima”, consistente com a orientação pedida.

Passo 4

Calcular o integrando \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) em termos de x,y.
Na superfície S temos z=g(x,y)=6-3x-2y. Então
\mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z)=(x,y,6-3x-2y).
O produto escalar com \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(3,2,1) é
\mathbf{F}\cdot(3,2,1)=3x+2y+1\cdot z.
Substituindo z=6-3x-2y,
3x+2y+z = 3x+2y+(6-3x-2y)=6.
Surpresa agradável: o integrando é constante igual a 6.

Passo 5

Fazer a integral dupla sobre a região D.
A região D é o retângulo 0\le x\le1,\;0\le y\le2. Então
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D} \big(\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)\big)\,dA = \iint_{D} 6\,dA.
Como 6 é constante,
\iint_{D} 6\,dA = 6\cdot \text{área}(D).á
A área de D é 1\cdot 2=2. Portanto o fluxo é
6\cdot 2 = 12.

Resposta

12

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