Ache
se
é uma normal unitária superior de
.
é a parte do plano
interceptada pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o fluxo
onde está dado:
-
-
é a parte do plano interceptada pelos planos - A normal
é a normal unitária “superior” (ou seja, com componente positiva).
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O plano pode ser escrito como função
com
- A região na base (projeção de
no plano ) é o retângulo
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (de forma didática e sem pular etapas).
Quando uma superfície é o gráfico de uma função
sobre uma região
do plano
, uma forma prática de calcular o fluxo com orientação para cima é usar a parametrização
Explicando por que isso funciona (passo-a-passo):
- Derivadas parciais:
e , onde e . - O produto vetorial
é um vetor normal (não unitário) à superfície. Calculando:
- O elemento de área da superfície é
. - A normal unitária com orientação para cima é
- Portanto o integrando do fluxo fica
Ou seja, para uma superfície dada por
com orientação para cima,
Isso simplifica muito os cálculos: só é preciso calcular
, substituir
e integrar sobre
.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto: determinar
,
e o vetor normal (não unitário).
Temos
Então
Logo
Note que a componente
desse vetor é
, logo ele já aponta “para cima”, consistente com a orientação pedida.
Passo 4
Calcular o integrando
em termos de
.
Na superfície
temos
. Então
O produto escalar com
é
Substituindo
,
Surpresa agradável: o integrando é constante igual a
.
Passo 5
Fazer a integral dupla sobre a região
.
A região
é o retângulo
. Então
Como
é constante,
A área de
é
. Portanto o fluxo é