Suponha que uma molécula de \mathrm{H}_{2} se comporta exatamente como um oscilador harmônico com uma constante de força de 573 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Determine o número quântico vibracional correspondente a sua energia de dissociação de 4.5 eV .

Passo 1

O enunciado dá:
  • constante de força do oscilador harmônico: k=573\\ \mathrm{N/m}.
  • energia de dissociação: D=4{,}5\\ \mathrm{eV}.
O que se pede:
  • determinar o número quântico vibracional v tal que a energia vibracional do oscilador harmônico se iguale à energia de dissociação D.
    Obs.: vou calcular primeiro o valor real (não necessariamente inteiro) de v a partir do modelo harmônico e depois indicar qual é o maior nível vibracional inteiro abaixo da dissociação.

Passo 2

Relembrando a teoria do oscilador harmônico quântico (explicando tudo com calma):
  • Os níveis de energia do oscilador harmônico unidimensional são dados por
E_v = \hbar\omega\left(v+\tfrac{1}{2}\right),
onde:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida (em \mathrm{J\cdot s});
  • \omega é a frequência angular do oscilador (em \mathrm{s^{-1}});
  • v é o número quântico vibracional ( v=0,1,2,\dots).
  • A frequência angular \omega relaciona-se com a constante de força k e a massa reduzida \mu da molécula por
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{\mu}}.
  • Para duas massas iguais m (caso do \mathrm{H}_2), a massa reduzida é
\mu=\dfrac{m}{2}.
  • Para achar v correspondente a E_v=D, isolamos v:
v = \dfrac{D}{\hbar\omega} - \tfrac{1}{2}.
Agora vamos calcular passo a passo cada termo numérico.

Passo 3

Escolher valores numéricos físicos usados:
  • constante de Planck reduzida: \hbar = 1{,}0545718\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • conversão de energia: 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • massa do átomo de hidrogênio (aproximação de rotina para \mathrm{H}): m_H = 1{,}6735575\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    Logo a massa reduzida da molécula \mathrm{H}_2 é
\mu=\dfrac{m_H}{2} = \dfrac{1{,}6735575\times10^{-27}}{2} = 8{,}3677875\times10^{-28}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a frequência angular \omega:
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{\mu}} = \sqrt{\dfrac{573}{8{,}3677875\times10^{-28}}}.
Calculemos o quociente:
\dfrac{573}{8{,}3677875\times10^{-28}} \approx 6{,}84605\times10^{29},
portanto
\omega \approx \sqrt{6{,}84605\times10^{29}} \approx 8{,}2734\times10^{14}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Calcular o quanto vale \hbar\omega (separação energética básica):
\hbar\omega = (1{,}0545718\times10^{-34})(8{,}2734\times10^{14}) \approx 8{,}7276\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Converter para \mathrm{eV}:
\hbar\omega = \dfrac{8{,}7276\times10^{-20}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 0{,}5447\\ \mathrm{eV}.
Assim, cada passo v\to v+1 aumenta a energia em aproximadamente 0{,}5447\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Agora usar a fórmula para v com D=4{,}5\\ \mathrm{eV}:
v = \dfrac{D}{\hbar\omega} - \tfrac{1}{2} = \dfrac{4{,}5}{0{,}5447} - 0{,}5 \approx 8{,}267 - 0{,}5 = 7{,}767.
Interpretação física e como responder na prova:
  • O valor contínuo v\approx7{,}77 significa que, no modelo do oscilador harmônico idealizado, a energia de dissociação corresponderia a um nível vibracional entre v=7 e v=8.
  • Como v precisa ser inteiro, o maior nível vibracional ligado (com energia menor ou igual a D) é v_{\max}=7 (pois para v=8 a energia E_8 seria maior que D no modelo harmônico).

Resposta

v \approx 7{,}77
v_{\max}=7

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