Suponha que uma molécula de
se comporta exatamente como um oscilador harmônico com uma constante de força de
. Determine o número quântico vibracional correspondente a sua energia de dissociação de 4.5 eV .
Passo 1
O enunciado dá:
- constante de força do oscilador harmônico:
. - energia de dissociação:
.
O que se pede:
- determinar o número quântico vibracional
tal que a energia vibracional do oscilador harmônico se iguale à energia de dissociação .
Obs.: vou calcular primeiro o valor real (não necessariamente inteiro) dea partir do modelo harmônico e depois indicar qual é o maior nível vibracional inteiro abaixo da dissociação.
Passo 2
Relembrando a teoria do oscilador harmônico quântico (explicando tudo com calma):
- Os níveis de energia do oscilador harmônico unidimensional são dados por
onde:
-
é a constante de Planck reduzida (em ); -
é a frequência angular do oscilador (em ); -
é o número quântico vibracional ( ). - A frequência angular
relaciona-se com a constante de força e a massa reduzida da molécula por
- Para duas massas iguais
(caso do ), a massa reduzida é
- Para achar
correspondente a , isolamos :
Agora vamos calcular passo a passo cada termo numérico.
Passo 3
Escolher valores numéricos físicos usados:
- constante de Planck reduzida:
. - conversão de energia:
. - massa do átomo de hidrogênio (aproximação de rotina para
): .
Logo a massa reduzida da moléculaé
Passo 4
Calcular a frequência angular
:
Calculemos o quociente:
portanto
Passo 5
Calcular o quanto vale
(separação energética básica):
Converter para
:
Assim, cada passo
aumenta a energia em aproximadamente
.
Passo 6
Agora usar a fórmula para
com
:
Interpretação física e como responder na prova:
- O valor contínuo
significa que, no modelo do oscilador harmônico idealizado, a energia de dissociação corresponderia a um nível vibracional entre e . - Como
precisa ser inteiro, o maior nível vibracional ligado (com energia menor ou igual a ) é (pois para a energia seria maior que no modelo harmônico).