Calcule \iint_{\pi} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde R e a regiāo limitada pela círcunferência x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde R é a região limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=9.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right).
  • A região R é o disco centrado na origem de raio 3, isto é \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
O que se pede:
  • Avaliar numericamente (em forma fechada) a integral dupla sobre esse disco.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares (explicação didática)?
  • A função \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) depende apenas de x^{2}+y^{2}, isto é, depende apenas da distância ao centro. Em coordenadas polares essa distância é r com x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Em integrais sobre discos centrados na origem, coordenadas polares tornam a região e a função muito mais simples: os limites para r são de 0 até o raio do disco, e para o ângulo \theta de 0 até 2\pi.
  • Lembrete sobre a mudança de variável para coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. O elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. O fator r é o jacobiano da transformação e representa a dilatação infinitesimal da área quando trocamos dx\,dy por dr\,d\theta.

Passo 3

Escrever a integral em coordenadas polares:
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica
\iint_{R} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr\,d\theta.
Aqui expliquei cada símbolo:
  • r é a distância ao origem ( r\ge0);
  • \theta é o ângulo polar ( 0\le\theta<2\pi);
  • \operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right) vem de substituir x^{2}+y^{2}=r^{2};
  • r\,dr\,d\theta é o elemento de área em polares.

Passo 4

Separar a integral angular da radial (porque a função separa):
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr\right).
A integral em \theta é imediata e vale 2\pi. Agora precisamos calcular a integral radial
\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr.

Passo 5

Cálculo da integral radial por substituição (aula rápida sobre a técnica):
  • Fazer a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{du}{2}.
  • Quando r=0 temos u=0. Quando r=3 temos u=9.
  • Assim
\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr = \int_{u=0}^{9}\operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{9}\operatorname{sen}(u)\,du.
  • Integral de \operatorname{sen}(u): uma primitiva é -\cos(u). Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{9}\operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{9} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos 9 -(-\cos 0)\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr).
(Obs.: \cos 0=1.)

Passo 6

Combinar com a parte angular e obter o resultado final:
  • Multiplicando pelo fator angular 2\pi,
\iint_{R}\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\frac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr)\right) = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr).
  • Simplificando,
2\pi\cdot\frac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr)=\pi\bigl(1-\cos 9\bigr).

Passo 7

Interpretação final e observações rápidas (didática final):
  • O resultado é finito e expresso de forma fechada como \pi(1-\cos 9).
  • Comentário prático: sempre que a integranda depender apenas de x^{2}+y^{2} (ou seja, for radial) e a região for um disco centrado na origem, coordenadas polares são a escolha natural porque transformam a integral em uma produto de uma integral angular simples e uma integral radial que normalmente é resolvida por substituição u=r^{2}.
  • Exemplo curto adicional: se fosse \iint_{R}e^{-(x^{2}+y^{2})}dA com o mesmo disco, a técnica seria idêntica e a integral radial daria algo como \int_{0}^{3}e^{-r^{2}}r\,dr=\tfrac{1}{2}(1-e^{-9}), levando ao resultado \pi(1-e^{-9}).

Resposta

\pi\left(1-\cos 9\right)

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