Calcule
, onde
e a regiāo limitada pela círcunferência
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pela circunferência
.
Informações fornecidas:
- A função a integrar é
. - A região
é o disco centrado na origem de raio , isto é .
O que se pede:
- Avaliar numericamente (em forma fechada) a integral dupla sobre esse disco.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares (explicação didática)?
- A função
depende apenas de , isto é, depende apenas da distância ao centro. Em coordenadas polares essa distância é com . - Em integrais sobre discos centrados na origem, coordenadas polares tornam a região e a função muito mais simples: os limites para
são de até o raio do disco, e para o ângulo de até . - Lembrete sobre a mudança de variável para coordenadas polares:
, . O elemento de área transforma-se em . O fator é o jacobiano da transformação e representa a dilatação infinitesimal da área quando trocamos por .
Passo 3
Escrever a integral em coordenadas polares:
- Substituindo
e , a integral fica
Aqui expliquei cada símbolo:
-
é a distância ao origem ( ); -
é o ângulo polar ( ); -
vem de substituir ; -
é o elemento de área em polares.
Passo 4
Separar a integral angular da radial (porque a função separa):
A integral em
é imediata e vale
. Agora precisamos calcular a integral radial
Passo 5
Cálculo da integral radial por substituição (aula rápida sobre a técnica):
- Fazer a substituição
. Então , ou seja . - Quando
temos . Quando temos . - Assim
- Integral de
: uma primitiva é . Portanto
(Obs.:
.)
Passo 6
Combinar com a parte angular e obter o resultado final:
- Multiplicando pelo fator angular
,
- Simplificando,
Passo 7
Interpretação final e observações rápidas (didática final):
- O resultado é finito e expresso de forma fechada como
. - Comentário prático: sempre que a integranda depender apenas de
(ou seja, for radial) e a região for um disco centrado na origem, coordenadas polares são a escolha natural porque transformam a integral em uma produto de uma integral angular simples e uma integral radial que normalmente é resolvida por substituição . - Exemplo curto adicional: se fosse
com o mesmo disco, a técnica seria idêntica e a integral radial daria algo como , levando ao resultado .