Calcule
dos seguintes campos escalares:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações dadas:
- A função é
. - Está explícito que
(logo a razão está bem definida).
A pergunta específica é obter a derivada parcial mista. Neste exercício vou entender essa notação como
ou seja, primeiro derivar
em relação a
e depois derivar o resultado em relação a
.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular
.
Vamos usar a substituição auxiliar
Aqui
é uma função de
e
. A função
é composta:
. Para derivar uma composição em relação a
aplica-se a regra da cadeia para derivadas parciais: derivada da função externa avaliada em
vezes a derivada parcial de
em relação a
.
Passo a passo das peças:
- Derivada da função externa: para a função escalar
vale
- Derivada parcial de
em relação a : como e é tratado como constante ao derivar em relação a ,
Agora aplicar a regra da cadeia:
Vamos simplificar essa expressão algébrica. Primeiro escrevendo o denominador comum:
Portanto
Então obtemos, de forma explícita,
Passo 3
Agora calculamos
, isto é, a derivada em
do resultado acima. Temos
Denotando
e
, podemos usar a regra do quociente para derivadas parciais (para função
em relação a
):
Calculemos as derivadas necessárias:
-
-
(pois é tratado como constante aqui).
Aplicando a fórmula:
Agora simplificamos o numerador:
Portanto
Passo 4
Comentário final sobre domínio e validade: a expressão final usa
no denominador, então ela é válida sempre que
. O enunciado impôs
, portanto para o domínio dado a expressão está bem definida (já evita o caso
). Em resumo, para
temos o resultado obtido acima.