Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} dos seguintes campos escalares:
(b) f(x, y)=\operatorname{atan}(y / x), \quad x \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} para a função
f(x,y)=\operatorname{atan}\!\left(\dfrac{y}{x}\right), \qquad x\neq 0.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\operatorname{atan}\!\bigl(y/x\bigr).
  • Está explícito que x\neq 0 (logo a razão y/x está bem definida).
    A pergunta específica é obter a derivada parcial mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}. Neste exercício vou entender essa notação como
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),
ou seja, primeiro derivar f em relação a y e depois derivar o resultado em relação a x.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Vamos usar a substituição auxiliar
u(x,y)=\dfrac{y}{x}.
Aqui u é uma função de x e y. A função f é composta: f(x,y)=\operatorname{atan}\bigl(u(x,y)\bigr). Para derivar uma composição em relação a y aplica-se a regra da cadeia para derivadas parciais: derivada da função externa avaliada em u vezes a derivada parcial de u em relação a y.
Passo a passo das peças:
  • Derivada da função externa: para a função escalar t\mapsto\operatorname{atan}(t) vale
\frac{d}{dt}\operatorname{atan}(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
  • Derivada parcial de u em relação a y: como u(x,y)=y/x e x é tratado como constante ao derivar em relação a y,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}.
Agora aplicar a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1+\bigl(\dfrac{y}{x}\bigr)^{2}}\cdot\frac{1}{x}.
Vamos simplificar essa expressão algébrica. Primeiro escrevendo o denominador comum:
1+\bigl(\dfrac{y}{x}\bigr)^{2} = 1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}} = \dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Então obtemos, de forma explícita,
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.}

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{\partial}{\partial x}\!\bigl(\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigr), isto é, a derivada em x do resultado acima. Temos
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Denotando A(x,y)=x e B(x,y)=x^{2}+y^{2}, podemos usar a regra do quociente para derivadas parciais (para função A/B em relação a x):
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{\dfrac{\partial A}{\partial x}\,B - A\,\dfrac{\partial B}{\partial x}}{B^{2}}.
Calculemos as derivadas necessárias:
  • \dfrac{\partial A}{\partial x}= \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • \dfrac{\partial B}{\partial x}= \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x (pois y é tratado como constante aqui).
Aplicando a fórmula:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{1\cdot (x^{2}+y^{2}) - x\cdot (2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora simplificamos o numerador:
1\cdot (x^{2}+y^{2}) - x\cdot (2x) = x^{2}+y^{2}-2x^{2} = y^{2}-x^{2}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Comentário final sobre domínio e validade: a expressão final usa (x^{2}+y^{2}) no denominador, então ela é válida sempre que x^{2}+y^{2}\neq 0. O enunciado impôs x\neq 0, portanto para o domínio dado a expressão está bem definida (já evita o caso (x,y)=(0,0)). Em resumo, para x\neq 0 temos o resultado obtido acima.

Resposta

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

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