Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{3} e constante a \in \mathbb{R} segue-se que:
(a) \nabla \cdot(a \mathbf{u}+\mathbf{v})=a \nabla \cdot \mathbf{u}+\nabla \cdot \mathbf{v};

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • O enunciado pede para mostrar que, dados \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e constante a\in\mathbb{R}, vale
\nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr)=a\,\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}.
  • Informações dadas:
    • \mathbf{u} e \mathbf{v} são campos vetoriais em \mathbb{R}^3, que podem ser escritos pelas suas componentes
    \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),onde cada u_i e v_i depende das coordenadas (x,y,z).
    • a é um número real constante.
  • Pressuposto necessário: as componentes u_i e v_i são diferenciáveis nas variáveis x,y,z (para que os parciais existam).

Passo 2

Relembrar a definição de divergente de um campo vetorial em componentes (essa é a ferramenta que vamos usar).
  • A divergente de um campo vetorial \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) é definida por
\nabla\cdot\mathbf{w}=\frac{\partial w_1}{\partial x}+\frac{\partial w_2}{\partial y}+\frac{\partial w_3}{\partial z}.
  • Aqui \dfrac{\partial w_1}{\partial x} significa a derivada parcial da componente w_1 em relação à variável x, e analogamente para as outras.

Passo 3

Escrever explicitamente o campo a\mathbf{u}+\mathbf{v} em componentes e aplicar a definição da divergente.
  • As componentes de a\mathbf{u}+\mathbf{v} são
a\mathbf{u}+\mathbf{v}=\bigl(a u_1+v_1,\; a u_2+v_2,\; a u_3+v_3\bigr).
  • Aplicando a definição da divergente:
\nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(a u_1+v_1\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a u_2+v_2\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(a u_3+v_3\bigr).

Passo 4

Usar a linearidade das derivadas parciais (explicar por que podemos separar somas e fatorar constantes).
  • Propriedades básicas de derivadas parciais (válidas porque as funções são diferenciáveis):
    • a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais:
    \frac{\partial}{\partial x}(f+g)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial x};
    • a derivada parcial de uma constante vezes uma função permite tirar a constante fora:
    \frac{\partial}{\partial x}(a f)=a\frac{\partial f}{\partial x}\quad\text{quando }a\text{ é constante}.é
  • Aplicando essas regras a cada termo da expressão do Passo 3:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a u_1+v_1\bigr)=a\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial v_1}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a u_2+v_2\bigr)=a\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial v_2}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(a u_3+v_3\bigr)=a\frac{\partial u_3}{\partial z}+\frac{\partial v_3}{\partial z}.

Passo 5

Somar os resultados e fatorar termos para obter a igualdade desejada.
  • Somando as três igualdades do Passo 4:
\nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr) = a\left(\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}\right) +\left(\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}\right).
  • Reconhecendo as somas como divergentes das componentes:
\nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr)=a\,\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}.

Resposta

\nabla\cdot\bigl(a\mathbf{u}+\mathbf{v}\bigr)=a\,\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}

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