Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados
e constante
segue-se que:
(a)
;
(a)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- O enunciado pede para mostrar que, dados
e constante , vale
- Informações dadas:
-
e são campos vetoriais em , que podem ser escritos pelas suas componentes
onde cada e depende das coordenadas . -
é um número real constante.
-
- Pressuposto necessário: as componentes
e são diferenciáveis nas variáveis (para que os parciais existam).
Passo 2
Relembrar a definição de divergente de um campo vetorial em componentes (essa é a ferramenta que vamos usar).
- A divergente de um campo vetorial
é definida por
- Aqui
significa a derivada parcial da componente em relação à variável , e analogamente para as outras.
Passo 3
Escrever explicitamente o campo
em componentes e aplicar a definição da divergente.
- As componentes de
são
- Aplicando a definição da divergente:
Passo 4
Usar a linearidade das derivadas parciais (explicar por que podemos separar somas e fatorar constantes).
- Propriedades básicas de derivadas parciais (válidas porque as funções são diferenciáveis):
- a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais:
- a derivada parcial de uma constante vezes uma função permite tirar a constante fora:
- Aplicando essas regras a cada termo da expressão do Passo 3:
Passo 5
Somar os resultados e fatorar termos para obter a igualdade desejada.
- Somando as três igualdades do Passo 4:
- Reconhecendo as somas como divergentes das componentes: