Calcule \iint_{R} f(x, y) d x d y para:
f(x, y)=\frac{1}{\ln y}, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 \leqslant y \leqslant 3,0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{y}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=\frac{1}{\ln y}
sobre a região
R = \{(x,y)\mid 2\le y\le 3,\;0\le x\le \tfrac{1}{y}\}.
O método é aplicar o Teorema de Fubini, integrando primeiro em x e depois em y, e depois usar uma mudança de variável para resolver a integral em y.

Passo 2

Integramos em x, mantendo y fixo:
\int_{0}^{1/y} \frac{1}{\ln y}\,dx = \frac{1}{\ln y}\,\Bigl[x\Bigr]_{0}^{1/y} = \frac{1}{\ln y}\cdot\frac{1}{y} = \frac{1}{y\,\ln y}.

Passo 3

Agora a integral em y fica
\int_{2}^{3} \frac{1}{y\,\ln y}\,dy.
Fazemos a substituição u=\ln y, logo du=\frac{1}{y}dy. Quando y=2 temos u=\ln2 e quando y=3 u=\ln3. Então
\int_{2}^{3} \frac{1}{y\,\ln y}\,dy = \int_{\ln2}^{\ln3} \frac{1}{u}\,du = \bigl[\ln u\bigr]_{\ln2}^{\ln3} = \ln(\ln3)-\ln(\ln2).

Resposta

\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy = \ln\bigl(\ln3\bigr)\;-\;\ln\bigl(\ln2\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{\ln3}{\ln2}\bigr).

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