(Valor 20.0 pts) Determinar a soluçĩo do P.V.I
y^{\prime}-2 y=x, y(0)=1
e, em seguida, mostre que a solução obtida verifica formalmente a equação diferencial dada.

Passo 1

O enunciado apresenta o P.V.I.
y' - 2y = x,\quad y(0)=1.
Como é uma equação diferencial linear de primeira ordem, vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) a partir de
\mu(x) = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = x\,e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-2x}\bigr) = x\,e^{-2x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-2x} = \int x\,e^{-2x}\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int x\,e^{-2x}\,dx, usamos integração por partes com \displaystyle u = x,\;dv = e^{-2x}dx, obtendo
\int x\,e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} + \tfrac12\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-2x} - \tfrac{1}{4}e^{-2x} + C.
Logo,
y\,e^{-2x} = -\bigl(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\bigr)e^{-2x} + C \quad\Longrightarrow\quad y(x) = -\bigl(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\bigr) + C\,e^{2x}.

Passo 4

Impondo a condição y(0)=1:
y(0) = -\tfrac{1}{4} + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4}.
Portanto a solução particular é
y(x) = -\tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{4}e^{2x}.

Passo 5

Vamos verificar que esta y(x) satisfaz a equação original. Calculamos
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{4}e^{2x}\Bigr) = -\tfrac12 + \tfrac{5}{2}e^{2x}.
Então
y'(x) - 2y(x) = \bigl(-\tfrac12 + \tfrac{5}{2}e^{2x}\bigr) -2\Bigl(-\tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{4}e^{2x}\Bigr) = x.
Isso mostra que a solução obtida verifica formalmente a equação diferencial.

Resposta

y(x) = -\tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{4}e^{2x}.

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