Calcule
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y
ao longo da região R do plano x y delimitada por x^{2}+y^{2}=9. Use o sistema de coordenadas mais apropriado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde R é a região do plano delimitada pela circunferência \;x^{2}+y^{2}=9. Informações dadas e o que se pede:
  • A região R é o disco de raio 3 centrado na origem (porque x^{2}+y^{2}=9 é uma circunferência de raio 3).
  • A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O enunciado sugere usar “o sistema de coordenadas mais apropriado” (não resolve ainda qual; só anotei que é pedido escolher um sistema adequado).

Passo 2

Escolhendo o sistema de coordenadas: vamos passar para coordenadas polares, que são normalmente as mais apropriadas quando a região é um disco centrado na origem. Em coordenadas polares definimos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Nessa mudança:
  • a expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2}, então \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r;
  • o elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Vou explicar por que aparece esse fator r:
Derivação do fator de escala (Jacobiano) de forma didática:
  • Considere a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) dada pelas fórmulas acima.
  • O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
J=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix}.
  • Compute as derivadas:
\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta,\quad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\theta,
\frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta,\quad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta.
  • Então o determinante é
J=\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix} =\cos\theta\cdot r\cos\theta - (-r\sin\theta)\cdot\sin\theta = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
  • Por isso dx\,dy = |J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta. Intuitivamente, um retângulo pequeno em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta porque ao aumentar \theta na periferia o arco tem comprimento r\,\Delta\theta.]

Passo 3

Determinar os limites para (r,\theta). A região R é o disco de raio 3, então em polares:
0 \le r \le 3,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Agora substituímos integrando em polares: a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r, e o elemento dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Portanto a integral fica
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3} \bigl(r\bigr)\cdot \bigl(r\bigr)\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna em r. Use a regra da potência: \int r^{2}\,dr = \dfrac{r^{3}}{3}. Assim
\int_{0}^{3} r^{2}\,dr = \left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \dfrac{3^{3}}{3}-0=\dfrac{27}{3}=9.
Expliquei passo a passo: eleva r ao expoente 3 e divide por 3, depois avalia nos limites.

Passo 5

Agora integre em \theta. Como a parte em r deu 9, temos
\int_{0}^{2\pi} 9\,d\theta = 9\left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = 9\cdot 2\pi = 18\pi.
Pronto — a integral dupla avalia para 18\pi.

Passo 6

Verificação rápida por simetria (cheque mental): a função \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r só depende da distância ao centro, então é natural que o resultado seja 2\pi vezes alguma potência de 3. O cálculo direto confirmou 18\pi.

Resposta

\;18\pi\;

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