ao longo da região R do plano x y delimitada por x^{2}+y^{2}=9. Use o sistema de coordenadas mais apropriado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
onde R é a região do plano delimitada pela circunferência \;x^{2}+y^{2}=9. Informações dadas e o que se pede:
A região R é o disco de raio 3 centrado na origem (porque x^{2}+y^{2}=9 é uma circunferência de raio 3).
A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O enunciado sugere usar “o sistema de coordenadas mais apropriado” (não resolve ainda qual; só anotei que é pedido escolher um sistema adequado).
Passo 2
Escolhendo o sistema de coordenadas: vamos passar para coordenadas polares, que são normalmente as mais apropriadas quando a região é um disco centrado na origem. Em coordenadas polares definimos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Nessa mudança:
a expressão x^{2}+y^{2} vira r^{2}, então \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r;
o elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Vou explicar por que aparece esse fator r:
Derivação do fator de escala (Jacobiano) de forma didática:
Considere a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) dada pelas fórmulas acima.
O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Por isso dx\,dy = |J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta. Intuitivamente, um retângulo pequeno em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta porque ao aumentar \theta na periferia o arco tem comprimento r\,\Delta\theta.]
Passo 3
Determinar os limites para (r,\theta). A região R é o disco de raio 3, então em polares:
0 \le r \le 3,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Agora substituímos integrando em polares: a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r, e o elemento dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Portanto a integral fica
Verificação rápida por simetria (cheque mental): a função \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r só depende da distância ao centro, então é natural que o resultado seja 2\pi vezes alguma potência de 3. O cálculo direto confirmou 18\pi.