Determine:
O campo gravitacional \mathcal{G} gerado por uma esfera de massa total M distribuída de forma homogênea pelo seu volume, definindo uma densidade volumétrica k constante. Encontre o campo dentro e fora da esfera.
[OBS.: O campo gravitacional gerado em um ponto \mathbf{r}:(x, y, z) do espaço por uma partícula de massa m em uma posição \mathbf{r}_{0}:\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) é dado por
O campo gravitacional gerado em um ponto \mathbf{r}:(x, y, z) por uma distribuição de massa no espaço é dado por:
\left.\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-G \iiint_{V} \frac{\rho\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^{3}} d V^{\prime} .\right]
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo gravitacional gerado por uma esfera de raio R com massa total M distribuída de forma homogênea no volume, com densidade volumétrica constante k. Devemos encontrar o campo em dois regimes: dentro da esfera (para pontos com r\le R) e fora da esfera (para pontos com r\ge R).
Informações dadas e úteis do enunciado:
A densidade volumétrica é constante e igual a k.
A massa total é M.
A expressão do campo devido a uma partícula massa m situada em \mathbf{r}_0 é
Escolha do método e por que ele é bom aqui. Por simetria esférica a melhor estratégia é usar a Lei de Gauss para gravidade (análogo da Lei de Gauss em eletrostática). Isso evita integrações complicadas e é o método mais direto: ele exige apenas raciocinar sobre simetria (campo radial e mesma magnitude em pontos da mesma distância do centro) e a relação entre fluxo do campo e a massa encerrada. Vou explicar e usar a lei passo a passo para que você entenda e consiga aplicar na prova.
Passo 3
Propriedade de simetria que simplifica tudo. Como a distribuição de massa é homogênea e a esfera é perfeitamente simétrica, o campo gravitacional em um ponto a uma distância radial r do centro só pode apontar na direção radial (para dentro) e sua magnitude só depende de r. Então podemos escrever, com convenção de sinal,
onde g(r)\ge 0 é a magnitude do campo e \mathbf{\hat r} é o versor radial (aponta para fora). O sinal negativo mostra que o campo aponta para o centro.
Passo 4
A Lei de Gauss para o campo gravitacional (forma integral). Existe a identidade (análogo do teorema de Poisson) que diz que
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{G}} = -4\pi G \rho(\mathbf{r}).
Aplicando o teorema da divergência a uma região qualquer e integrando, obtemos a forma integral: o fluxo do campo através de uma superfície fechada S é
\iint_{S}\overrightarrow{\mathcal{G}}\cdot d\mathbf{S} = -4\pi G \,M_{\text{enc}},
onde M_{\text{enc}} é a massa contida no volume encerrado por S. Essa é a Lei de Gauss para gravidade; ela segue da definição do campo (superposição de pontos materiais) mais o teorema da divergência — aqui uso-a porque é uma ferramenta básica e padrão para problemas esfericamente simétricos. (Se quiser eu mostro a derivação da relação diferencial \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{G}} = -4\pi G \rho em outro momento.)
Passo 5
Aplicando Gauss com uma esfera concêntrica de raio r. Escolhemos como superfície fechada S a esfera de raio r centrada na esfera de massa. Por simetria \overrightarrow{\mathcal{G}} é perpendicular à superfície e tem a mesma magnitude em todo S. Então o fluxo é
onde M_{\text{enc}} é a massa contida na esfera de raio r.
Passo 6
Caso fora da esfera (r\ge R). Aqui a superfície de raio r envolve toda a massa da esfera, então
M_{\text{enc}} = M.
Substituindo na fórmula obtemos
\overrightarrow{\mathcal{G}}(r) = -\frac{G M}{r^{2}}\,\mathbf{\hat r},\qquad r\ge R.
Comentário físico: esse resultado diz que, para efeitos do campo externo, a esfera homogênea se comporta como se toda a massa estivesse concentrada no centro — o mesmo resultado que a esfera como um corpo pontual.
Passo 7
Caso dentro da esfera (r\le R). A massa contida na bola de raio r é a densidade vezes o volume dessa bola. Como a densidade é constante k,
M_{\text{enc}} = k\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Substituindo em g(r)=G M_{\text{enc}}/r^{2} obtemos
g(r)=\frac{G\left(k\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}\right)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi G k\,r.
Logo o campo vetorial dentro é
\overrightarrow{\mathcal{G}}(r) = -\frac{4}{3}\pi G k\,r\,\mathbf{\hat r},\qquad r\le R.
Podemos também escrever essa expressão em termos de M e R. Como a massa total M é
M = k\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3},
temos k=\dfrac{3M}{4\pi R^{3}}. Substituindo em \dfrac{4}{3}\pi G k\,r dá
\frac{4}{3}\pi G k\,r = \frac{4}{3}\pi G \left(\frac{3M}{4\pi R^{3}}\right)r = \frac{G M}{R^{3}}\,r.
Portanto uma forma muito usada é
\overrightarrow{\mathcal{G}}(r) = -\frac{G M}{R^{3}}\,r\,\mathbf{\hat r},\qquad r\le R.
Observe que esse campo cresce linearmente com r (magnitude proporcional a r), e em r=0 vale zero como esperado.
Passo 8
Verificação de continuidade na superfície r=R. Avaliando o campo interno na fronteira r=R obtemos