Calcule:
\iint_{R} x^{2}+y^{2} d x d y onde R é o interior do triângulo cujos vértices (1 ; 2) ;(3 ; 3) ;(4,0)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}+y^{2}\,dx\,dy
onde R é o interior do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,3) e (4,0).
Informações dadas:
\text{Vértices: } A=(1,2),\; B=(3,3),\; C=(4,0).é
Pergunta explícita:
Calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{R} x^{2}+y^{2}\,dx\,dy.

Passo 2

Primeiro vamos descrever geometricamente o triângulo R por equações das retas que passam pelos pares de vértices. Isso é essencial para escrever os limites de integração.
Equação da reta AB (entre (1,2) e (3,3)):
y-2=\frac{3-2}{3-1}(x-1)\Rightarrow y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}=\frac{x+3}{2}.
Equação da reta BC (entre (3,3) e (4,0)):
y-3=-3(x-3)\Rightarrow y=-3x+12.
Equação da reta AC (entre (1,2) e (4,0)):
y-2=-\tfrac{2}{3}(x-1)\Rightarrow y=-\tfrac{2}{3}x+\tfrac{8}{3}=\frac{8-2x}{3}.
Análise do intervalo de x: os vértices têm x-coordenação mínima 1 e máxima 4. Para escolher limites em x e y precisamos ver qual é a curva superior e inferior em cada subintervalo de x.
Avaliação rápida (por exemplo em x=2 e x=3{,}5) mostra que:
  • Para 1\le x\le 3 a reta superior é AB e a inferior é AC.
  • Para 3\le x\le 4 a reta superior é BC e a inferior é AC.
Portanto vamos dividir a integral em duas integrais em x:
\iint_{R} (x^2+y^2)\,dx\,dy = \int_{x=1}^{3}\!\int_{y=AC(x)}^{AB(x)}(x^2+y^2)\,dy\,dx + \int_{x=3}^{4}\!\int_{y=AC(x)}^{BC(x)}(x^2+y^2)\,dy\,dx.
Onde usamos explicitamente
AB(x)=\tfrac{x+3}{2},\qquad AC(x)=\tfrac{8-2x}{3},\qquad BC(x)=-3x+12.

Passo 3

Agora fazemos a integração interna em y. A primitiva em y de x^{2}+y^{2} (tratando x como constante) é
\int (x^{2}+y^{2})\,dy = x^{2}y+\tfrac{1}{3}y^{3}.
Explicação curta: integrar em y mantém x^2 como constante, então \int x^2\,dy = x^2 y. Para y^2, \int y^2\,dy = y^3/3.
Aplicando isso nos intervalos de y temos as duas integrais em x:
I1 (para 1\le x\le 3):
I_1=\int_{1}^{3}\left[ x^{2}\big(AB(x)-AC(x)\big)+\tfrac{1}{3}\big(AB(x)^{3}-AC(x)^{3}\big)\right]dx.
I2 (para 3\le x\le 4):
I_2=\int_{3}^{4}\left[ x^{2}\big(BC(x)-AC(x)\big)+\tfrac{1}{3}\big(BC(x)^{3}-AC(x)^{3}\big)\right]dx.
Antes de integrar em x é conveniente simplificar as diferenças AB-AC e BC-AC, pois elas simplificam muito os cálculos.
Calcule AB-AC:
AB-AC=\frac{x+3}{2}-\frac{8-2x}{3}=\frac{7}{6}(x-1).
(Observe que os termos em x e constantes se combinam dando fator comum 7/6.)
Calcule BC-AC:
BC-AC=(-3x+12)-\frac{8-2x}{3}=\frac{7}{3}(4-x).
(novamente surge fator simples \tfrac{7}{3}(4-x).)

Passo 4

Vamos calcular I_1 (intervalo x\in[1,3]) explicitando as expressões usadas.
Sabendo AB=\tfrac{x+3}{2} e AC=\tfrac{8-2x}{3}, temos
I_1=\int_{1}^{3}\left[ x^{2}\cdot\frac{7}{6}(x-1)+\tfrac{1}{3}\left(\left(\tfrac{x+3}{2}\right)^{3}-\left(\tfrac{8-2x}{3}\right)^{3}\right)\right]dx.
Vamos escrever termo a termo e expandir para integrar polinômios facilmente.
Primeiro termo:
x^{2}\cdot\frac{7}{6}(x-1)=\frac{7}{6}(x^{3}-x^{2}).
Segundo termo:
\tfrac{1}{3}\left(\left(\tfrac{x+3}{2}\right)^{3}-\left(\tfrac{8-2x}{3}\right)^{3}\right) = \frac{1}{24}(x+3)^{3}-\frac{1}{81}(8-2x)^{3}.
Agora expandimos os cubos:
(x+3)^{3}=x^{3}+9x^{2}+27x+27,
(8-2x)^{3}=512-384x+96x^{2}-8x^{3}.
Substituindo e combinando termos (faça devagar, somando coeficientes de x^3,x^2,x,1) obtemos o integrando em forma polinomial:
\text{integrando}_1=\frac{847}{648}x^{3}-\frac{427}{216}x^{2}+\frac{1267}{216}x-\frac{3367}{648}.
Agora integramos termo a termo em x. Uma antiderivada é
F_1(x)=\frac{847}{2592}x^{4}-\frac{427}{648}x^{3}+\frac{1267}{432}x^{2}-\frac{3367}{648}x.
Avaliando de 1 a 3:
I_1=F_1(3)-F_1(1).
Fazendo as contas com cuidado (detalhes aritméticos mostrados abaixo):
  • F_1(3)=\dfrac{16835}{864}.
  • F_1(1)=-\dfrac{6727}{2592}.
Logo
I_1=\frac{16835}{864}+\frac{6727}{2592}=\frac{3577}{162}.
(Se quiser conferir: convertendo para denominador comum e simplificando chegamos em \dfrac{3577}{162}.)

Passo 5

Agora calculamos I_2 (intervalo x\in[3,4]). Lembrando
BC(x)=-3x+12,\qquad AC(x)=\frac{8-2x}{3}.
Usando as simplificações já encontradas:
BC-AC=\frac{7}{3}(4-x).
Para as partes cúbicas note que BC(x)=-3(x-4) e AC(x)=\frac{8-2x}{3}=-\frac{2}{3}(x-4). Assim
BC^{3}-AC^{3}=-27(x-4)^{3}-\left(-\frac{8}{27}(x-4)^{3}\right)=-\frac{721}{27}(x-4)^{3}.
Portanto o integrando fica
x^{2}\cdot\frac{7}{3}(4-x)+\frac{1}{3}\big(BC^{3}-AC^{3}\big) = -\frac{7}{3}x^{3}+\frac{28}{3}x^{2}-\frac{721}{81}(x-4)^{3}.
Expandindo (x-4)^{3}=x^{3}-12x^{2}+48x-64 e combinando coeficientes obtemos um polinômio:
\text{integrando}_2=\frac{1}{81}\big(-910x^{3}+9408x^{2}-34608x+46144\big).
Uma antiderivada é
F_2(x)=-\frac{455}{162}x^{4}+\frac{3136}{81}x^{3}-\frac{17304}{81}x^{2}+\frac{46144}{81}x.
Avaliando de 3 a 4:
I_2=F_2(4)-F_2(3).
Fazendo as contas:
  • F_2(4)=\dfrac{50176}{81}.
  • F_2(3)=\dfrac{32627}{54}.
Calculando a diferença com denominador comum obtemos
I_2=\frac{24671}{162}.

Passo 6

Somamos as duas parcelas da integral total:
I=I_1+I_2=\frac{3577}{162}+\frac{24671}{162}=\frac{28248}{162}.
Simplificando a fração dividindo por 6:
\frac{28248}{162}=\frac{4708}{27}.
Portanto o valor exato da integral dupla sobre o triângulo R é \dfrac{4708}{27}.

Resposta

\dfrac{4708}{27}

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