Calcule:
onde
é o interior do triângulo cujos vértices
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o interior do triângulo cujos vértices são
,
e
.
Informações dadas:
Pergunta explícita:
Calcular o valor numérico da integral dupla .
Calcular o valor numérico da integral dupla
Passo 2
Primeiro vamos descrever geometricamente o triângulo
por equações das retas que passam pelos pares de vértices. Isso é essencial para escrever os limites de integração.
Equação da reta
(entre
e
):
Equação da reta
(entre
e
):
Equação da reta
(entre
e
):
Análise do intervalo de
: os vértices têm
-coordenação mínima
e máxima
. Para escolher limites em
e
precisamos ver qual é a curva superior e inferior em cada subintervalo de
.
Avaliação rápida (por exemplo em
e
) mostra que:
- Para
a reta superior é e a inferior é . - Para
a reta superior é e a inferior é .
Portanto vamos dividir a integral em duas integrais em
:
Onde usamos explicitamente
Passo 3
Agora fazemos a integração interna em
. A primitiva em
de
(tratando
como constante) é
Explicação curta: integrar em
mantém
como constante, então
. Para
,
.
Aplicando isso nos intervalos de
temos as duas integrais em
:
I1 (para
):
I2 (para
):
Antes de integrar em
é conveniente simplificar as diferenças
e
, pois elas simplificam muito os cálculos.
Calcule
:
(Observe que os termos em
e constantes se combinam dando fator comum
.)
Calcule
:
(novamente surge fator simples
.)
Passo 4
Vamos calcular
(intervalo
) explicitando as expressões usadas.
Sabendo
e
, temos
Vamos escrever termo a termo e expandir para integrar polinômios facilmente.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Agora expandimos os cubos:
Substituindo e combinando termos (faça devagar, somando coeficientes de
) obtemos o integrando em forma polinomial:
Agora integramos termo a termo em
. Uma antiderivada é
Avaliando de
a
:
Fazendo as contas com cuidado (detalhes aritméticos mostrados abaixo):
-
. -
.
Logo
(Se quiser conferir: convertendo para denominador comum e simplificando chegamos em
.)
Passo 5
Agora calculamos
(intervalo
). Lembrando
Usando as simplificações já encontradas:
Para as partes cúbicas note que
e
. Assim
Portanto o integrando fica
Expandindo
e combinando coeficientes obtemos um polinômio:
Uma antiderivada é
Avaliando de
a
:
Fazendo as contas:
-
. -
.
Calculando a diferença com denominador comum obtemos
Passo 6
Somamos as duas parcelas da integral total:
Simplificando a fração dividindo por
:
Portanto o valor exato da integral dupla sobre o triângulo
é
.