Calcule os limites
\lim _{(x, y) \rightarrow 0,0)} \frac{e^{x y}-1}{x y}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{x y}-1}{x y}.
Informações dadas e observações importantes: a função considerada é
f(x,y)=\frac{e^{x y}-1}{x y},
que está bem definida para os pares (x,y) tais que x y \neq 0. Mesmo que a expressão não esteja definida exatamente quando x y=0, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} se preocupa apenas nos valores de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) por pontos em que x y\neq 0.

Passo 2

Estratégia básica (a ideia que vamos usar): note que a expressão depende apenas do produto x y. Então faz sentido definir a variável auxiliar
t = x y.
Vou justificar que quando (x,y)\to(0,0) temos t\to 0. Uma forma simples de ver isso é usar a desigualdade
2|x y| \le x^2 + y^2,
que é consequência de (|x|-|y|)^2\ge 0. Daí
|t| = |x y| \le \frac{x^2 + y^2}{2}.
Como (x,y)\to(0,0) implica x^2+y^2\to 0, segue que |t|\to 0, isto é, t\to 0. Portanto a aproximação (x,y)\to(0,0) leva ao mesmo tempo t\to 0.

Passo 3

Usando t=x y a razão fica a função univariada
g(t)=\frac{e^{t}-1}{t},
para t\neq 0. Pela conclusão do passo anterior, ao fazer (x,y)\to(0,0) temos t\to 0, e portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{x y}-1}{x y} = \lim_{t\to 0} \frac{e^{t}-1}{t}.
Aqui a troca é válida porque estamos aplicando a composição: primeiro a aplicação (x,y)\mapsto t=x y que tende a 0, depois a aplicação t\mapsto g(t). Se g(t) tem limite quando t\to 0, este será o limite buscado.

Passo 4

Agora precisamos calcular o limite univariado
\lim_{t\to 0} \frac{e^{t}-1}{t}.
Vou explicar duas formas simples e intuitivas (use a que você se lembra melhor para a prova):
Forma 1 — usando derivada (explicação curta): a derivada da função h(t)=e^{t} em t=0 é
h'(0)=\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-e^{0}}{t-0}=\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}.
Mas sabemos que h'(t)=e^{t} para todo t, logo h'(0)=e^{0}=1. Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Forma 2 — usando série de Taylor (intuição sem provas longas): a expansão em série de e^{t} em torno de 0 é
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots.
Substituindo na razão obtemos
\frac{e^{t}-1}{t}=1+\frac{t}{2!}+\frac{t^{2}}{3!}+\cdots,
e claramente quando t\to 0 todos os termos com potências positivas de t desaparecem, sobrando 1. Assim
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Ambas as formas dão o mesmo resultado: o limite vale 1. Se você preferir lembrar apenas uma regra pronta para a prova, memorize que
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1,
pois é uma identidade básica da exponencial.

Passo 5

Concluímos juntando os resultados: como a passagem (x,y)\mapsto t=x y leva a t\to 0 e
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1,
segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{x y}-1}{x y}=1.
Uma rápida checagem por caminhos especiais: se você tomar y=x (então t=x^2) ou y=2x (então t=2x^2), em ambos os casos t\to 0 quando x\to 0 e a razão tende a 1. Isso reforça a independência do caminho.

Resposta

1

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