Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações importantes: a função considerada é
que está bem definida para os pares
tais que
. Mesmo que a expressão não esteja definida exatamente quando
, o limite
se preocupa apenas nos valores de
quando
se aproxima de
por pontos em que
.
Passo 2
Estratégia básica (a ideia que vamos usar): note que a expressão depende apenas do produto
. Então faz sentido definir a variável auxiliar
Vou justificar que quando
temos
. Uma forma simples de ver isso é usar a desigualdade
que é consequência de
. Daí
Como
implica
, segue que
, isto é,
. Portanto a aproximação
leva ao mesmo tempo
.
Passo 3
Usando
a razão fica a função univariada
para
. Pela conclusão do passo anterior, ao fazer
temos
, e portanto
Aqui a troca é válida porque estamos aplicando a composição: primeiro a aplicação
que tende a
, depois a aplicação
. Se
tem limite quando
, este será o limite buscado.
Passo 4
Agora precisamos calcular o limite univariado
Vou explicar duas formas simples e intuitivas (use a que você se lembra melhor para a prova):
Forma 1 — usando derivada (explicação curta): a derivada da função
em
é
Mas sabemos que
para todo
, logo
. Portanto
Forma 2 — usando série de Taylor (intuição sem provas longas): a expansão em série de
em torno de
é
Substituindo na razão obtemos
e claramente quando
todos os termos com potências positivas de
desaparecem, sobrando
. Assim
Ambas as formas dão o mesmo resultado: o limite vale
. Se você preferir lembrar apenas uma regra pronta para a prova, memorize que
pois é uma identidade básica da exponencial.
Passo 5
Concluímos juntando os resultados: como a passagem
leva a
e
segue que
Uma rápida checagem por caminhos especiais: se você tomar
(então
) ou
(então
), em ambos os casos
quando
e a razão tende a
. Isso reforça a independência do caminho.