Calcule os limites
\lim _{\{x, y\} \rightarrow 1,1)} \frac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a ser analisada é f(x,y)=\dfrac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(1,1).
  • Se substituirmos diretamente x=1 e y=1 na expressão, obtemos uma forma indeterminada 0/0 (pois 1^{2}-1\cdot1=0 e 1^{2}-1^{2}=0).
    Não há outras informações ou figuras. O que precisamos determinar é se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Verificação da indeterminação e ideia inicial: calcular diretamente
\frac{1^{2}-1\cdot1}{1^{2}-1^{2}}=\frac{0}{0},
que é indeterminado. Quando aparece 0/0 em limites, uma técnica clássica é fatorar e simplificar a expressão algébrica (quando possível) para eliminar o fator responsável pela indeterminação. Vou ensinar e aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 3

Fatoração das expressões no numerador e no denominador:
  • Numerador: x^{2}-x y = x(x-y). Aqui apenas coloquei x em evidência: multiplicar x por (x-y) x^{2}-x y.
  • Denominador: x^{2}-y^{2} = (x-y)(x+y). Essa é a diferença de quadrados, fórmula padrão: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Portanto a fração pode ser escrita como
\frac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)}.

Passo 4

Cancelamento do fator comum: quando x\neq y podemos cancelar o fator (x-y) nos numerador e denominador. É importante frisar que o cancelamento só vale em pontos onde x-y\neq0 (pois dividir por zero não é permitido). Após cancelar, obtemos a expressão simplificada válida para x\neq y:
\frac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x}{x+y},\qquad\text{quando }x\neq y.
Essa simplificação é a chave: a função original coincide com g(x,y)=\dfrac{x}{x+y} em todos os pontos próximos a (1,1) exceto aqueles da reta x=y.

Passo 5

Estudo da função simplificada e continuidade: a função
g(x,y)=\frac{x}{x+y}
é uma função racional de duas variáveis. Uma função racional é contínua em todos os pontos em que o denominador é diferente de zero. No ponto (1,1) o denominador é 1+1=2\neq0, logo g é contínua em (1,1). Pela propriedade de continuidade, o limite de g quando (x,y)\to(1,1) é simplesmente o seu valor em (1,1):
\lim_{(x,y)\to(1,1)} g(x,y) = g(1,1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Relação entre a função original e a função simplificada para concluir o limite: a função original f(x,y)=\dfrac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}} coincide com g(x,y)=\dfrac{x}{x+y} em uma vizinhança de (1,1) exceto sobre a reta x=y, onde ambas as expressões têm problema (denominador zero). Para a definição de limite em várias variáveis, só precisamos que os valores da função em pontos do domínio próximos a (1,1) se aproximem de um mesmo número. Como em todo ponto suficientemente próximo de (1,1) com x\neq y temos f(x,y)=g(x,y), o limite de f quando (x,y)\to(1,1) existe e é igual ao limite de g, que já calculámos como \tfrac{1}{2}.
Observação prática (tranquilizadora): não precisamos considerar uma “reta” onde a função não está definida (a reta x=y) ao testar o limite — apenas pontos do domínio — e nesses pontos o comportamento é dado por g(x,y), que tende a \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Checagem por caminhos simples (confirmação): como teste intuitivo, podemos aproximar por caminhos em que a função está definida.
  • Tomando y=1 e fazendo x\to1 (aqui x\neq y para x próximo de 1 mas diferente de 1), obtemos pela simplificação \dfrac{x}{x+1}\to\dfrac{1}{2}.
  • Tomando x=1 e fazendo y\to1 obtemos \dfrac{1}{1+y}\to\dfrac{1}{2}.
    Esses testes concordam com \tfrac{1}{2} e corroboram a conclusão.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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