Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a ser analisada é
. - O ponto de interesse é
. - Se substituirmos diretamente
e na expressão, obtemos uma forma indeterminada (pois e ).
Não há outras informações ou figuras. O que precisamos determinar é se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Verificação da indeterminação e ideia inicial: calcular diretamente
que é indeterminado. Quando aparece
em limites, uma técnica clássica é fatorar e simplificar a expressão algébrica (quando possível) para eliminar o fator responsável pela indeterminação. Vou ensinar e aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 3
Fatoração das expressões no numerador e no denominador:
- Numerador:
. Aqui apenas coloquei em evidência: multiplicar por dá . - Denominador:
. Essa é a diferença de quadrados, fórmula padrão: .
Portanto a fração pode ser escrita como
Passo 4
Cancelamento do fator comum: quando
podemos cancelar o fator
nos numerador e denominador. É importante frisar que o cancelamento só vale em pontos onde
(pois dividir por zero não é permitido). Após cancelar, obtemos a expressão simplificada válida para
:
Essa simplificação é a chave: a função original coincide com
em todos os pontos próximos a
exceto aqueles da reta
.
Passo 5
Estudo da função simplificada e continuidade: a função
é uma função racional de duas variáveis. Uma função racional é contínua em todos os pontos em que o denominador é diferente de zero. No ponto
o denominador é
, logo
é contínua em
. Pela propriedade de continuidade, o limite de
quando
é simplesmente o seu valor em
:
Passo 6
Relação entre a função original e a função simplificada para concluir o limite: a função original
coincide com
em uma vizinhança de
exceto sobre a reta
, onde ambas as expressões têm problema (denominador zero). Para a definição de limite em várias variáveis, só precisamos que os valores da função em pontos do domínio próximos a
se aproximem de um mesmo número. Como em todo ponto suficientemente próximo de
com
temos
, o limite de
quando
existe e é igual ao limite de
, que já calculámos como
.
Observação prática (tranquilizadora): não precisamos considerar uma “reta” onde a função não está definida (a reta
) ao testar o limite — apenas pontos do domínio — e nesses pontos o comportamento é dado por
, que tende a
.
Passo 7
Checagem por caminhos simples (confirmação): como teste intuitivo, podemos aproximar por caminhos em que a função está definida.
- Tomando
e fazendo (aqui para próximo de mas diferente de ), obtemos pela simplificação . - Tomando
e fazendo obtemos .
Esses testes concordam come corroboram a conclusão.