Calcule \iint_{R}(x+y) dA na região R dada em cada item.
R é o círculo de raio 1 e centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x+y)\,\mathrm{d}A
onde R é o disco de raio 1 centrado na origem. O conteúdo envolvido é integração dupla em uma região simétrica no plano e uso de propriedades de paridade (simetria) ou coordenadas polares.

Passo 2

Vamos decompor a integral em duas partes:
\iint_{R}(x+y)\,\mathrm{d}A =\iint_{R}x\,\mathrm{d}A+\iint_{R}y\,\mathrm{d}A.

Passo 3

Como R é simétrico em relação aos eixos x e y, cada uma dessas integrais vale zero:
  • \displaystyle \iint_{R}x\,\mathrm{d}A=0 porque a função x é ímpar em relação ao eixo y.
  • \displaystyle \iint_{R}y\,\mathrm{d}A=0 porque a função y é ímpar em relação ao eixo x.
Em coordenadas polares isso fica claro também, pois
\iint_{R}x\,\mathrm{d}A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}(r\cos\theta)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\;\int_{0}^{1}r^{2}\,\mathrm{d}r =0
e análogo para \iint_{R}y\,\mathrm{d}A.

Passo 4

Somando as duas partes, concluímos que
\iint_{R}(x+y)\,\mathrm{d}A =0+0=0.

Resposta

0

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