Calcule
dA na região
dada em cada item.
é o círculo de raio 1 e centro na origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco de raio
centrado na origem. O conteúdo envolvido é integração dupla em uma região simétrica no plano e uso de propriedades de paridade (simetria) ou coordenadas polares.
Passo 2
Vamos decompor a integral em duas partes:
Passo 3
Como
é simétrico em relação aos eixos
e
, cada uma dessas integrais vale zero:
-
porque a função é ímpar em relação ao eixo . -
porque a função é ímpar em relação ao eixo .
Em coordenadas polares isso fica claro também, pois
e análogo para
.
Passo 4
Somando as duas partes, concluímos que