Calcule \iint_{R}(x+y) dA na região R dada em cada item.
R é a região delimitada acima por y=\sqrt{x} e abaixo por y=x^{2}, para 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x+y)\,\mathrm{d}A
na região R limitada superiormente por y=\sqrt{x} e inferiormente por y=x^{2}, com 0\le x\le1. O conteúdo usado aqui é a conversão da integral dupla em uma integral iterada, escolhendo primeiro integrar em y e depois em x.

Passo 2

Precisamos expressar R em termos de x e y. Para cada x\in[0,1], y varia de
y_{\min}=x^{2}
até
y_{\max}=\sqrt{x}.
Logo a integral dupla vira
\iint_{R}(x+y)\,\mathrm{d}A =\int_{x=0}^{1}\Bigl[\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}\bigl(x+y\bigr)\,\mathrm{d}y\Bigr]\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}\bigl(x+y\bigr)\,\mathrm{d}y =\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}x\,\mathrm{d}y +\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}y\,\mathrm{d}y.
Como x é constante em relação a y,
\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}x\,\mathrm{d}y =x\bigl[\;y\;\bigr]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} =x\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr) =x^{3/2}-x^{3}.
E
\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}y\,\mathrm{d}y =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} =\frac{(\sqrt{x})^{2}}{2}-\frac{(x^{2})^{2}}{2} =\frac{x}{2}-\frac{x^{4}}{2}.
Somando,
\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}}\!(x+y)\,\mathrm{d}y =x^{3/2}-x^{3}+\frac{x}{2}-\frac{x^{4}}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(x^{3/2}-x^{3}+\tfrac{x}{2}-\tfrac{x^{4}}{2}\Bigr)\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}x^{3/2}\mathrm{d}x -\int_{0}^{1}x^{3}\mathrm{d}x +\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x -\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{4}\mathrm{d}x.
Calculando termo a termo:
\int_{0}^{1}x^{3/2}\mathrm{d}x =\frac{2}{5}x^{5/2}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{5},
\int_{0}^{1}x^{3}\mathrm{d}x =\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{4},
\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x =\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{2},
\int_{0}^{1}x^{4}\mathrm{d}x =\frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{5}.
Substituindo:
\frac{2}{5} -\frac{1}{4} +\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} =\frac{2}{5} -\frac{1}{4} +\frac{1}{4} -\frac{1}{10} =\frac{2}{5}-\frac{1}{10} =\frac{3}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{10}

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