Calcule \iint_{R}(x+y) dA na região R dada em cada item.
R é a região delimitada pela curva y=x^{2} e as retas y=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral duplo
\iint_{R}(x+y)\,dA
onde R é a região do plano limitada pela parábola y=x^{2}, pela reta y=0 e pela reta x=2. O conteúdo envolvido é integração dupla que resolveremos por integração iterada, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para descrever R em coordenadas retangulares, observe que a parábola e a reta y=0 se cruzam em x=0, e a outra fronteira vertical é x=2. Assim podemos escrever
\iint_{R}(x+y)\,dA =\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x^{2}}(x+y)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em relação a y:
\int_{0}^{x^{2}}(x+y)\,dy =\Bigl[x\,y+\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{x^{2}} =x\cdot x^{2}+\frac{(x^{2})^{2}}{2} =x^{3}+\frac{x^{4}}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}\!\Bigl(x^{3}+\tfrac{x^{4}}{2}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{2}x^{3}\,dx+\tfrac12\int_{0}^{2}x^{4}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} +\tfrac12\Bigl[\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{2} =4+\frac{16}{5} =\frac{36}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{36}{5}

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