Monte a integral necessária para calcular o volume do sólido dado. Não é preciso calcular a integral.
O sólido limitado acima pelo parabolóide z=9 x^{2}+y^{2}, abaixo pelo plano z=0 e lateralmente por y=x^{2} e y=x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo parabolóide \,z=9x^{2}+y^{2}, abaixo pelo plano \,z=0 e lateralmente pelas curvas \,y=x^{2} e \,y=x. Para isso usaremos um integral tripla com a ordem de integração dz\,dy\,dx.

Passo 2

Projetamos o sólido no plano xy. A região D é limitada pelas curvas
y = x^{2} \quad\text{e}\quad y = x
que se intersectam quando
x^{2} = x \;\Longrightarrow\; x(x-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.

Passo 3

Para x variando de 0 a 1, o y vai de y=x^{2} até y=x. Em cada ponto (x,y) a coordenada z varia de z=0 até z=9x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Montamos então a integral tripla que dá o volume V:
V \;=\; \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^{2}}^{\,x} \int_{z=0}^{\,9x^{2}+y^{2}} dz\,dy\,dx.

Resposta

V = \int_{0}^{1}\!\int_{x^{2}}^{x}\!\int_{0}^{9x^{2}+y^{2}} dz\,dy\,dx.

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