Calcule \iint_{R} x e^{x y} d A, se a região de integração é o retângulo R=[1,2] \times[1,3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x e^{x y}\, dA,
onde a região de integração é o retângulo R=[1,2]\times[1,3].\n
Informações dadas:
  • A função a integrar é x e^{x y}, que depende das variáveis x e y.\n
  • A região R é o retângulo com x variando de 1 a 2 e y variando de 1 a 3.\n
    O que se pede:
  • Calcular exatamente o valor de \iint_{R} x e^{x y}\, dA.

Passo 2

Como R é um retângulo, podemos transformar a integral dupla numa integral iterada (a ordem pode ser escolhida). Vou integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Isso é conveniente porque a derivada de e^{x y} em relação a y traz um fator x, que aparece no integrando, tornando a primitiva simples.\n
Lembrete rápido do que significa dA: é o elemento de área, que num retângulo corresponde a dA = dy\,dx (ou dx\,dy), conforme a ordem escolhida.

Passo 3

Escrevemos a integral como iterada, integrando y primeiro:
\iint_{R} x e^{x y}\, dA = \int_{x=1}^{2}\!\!\int_{y=1}^{3} x e^{x y}\, dy\, dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
precisamos de uma antiderivada de y \mapsto x e^{x y}, mantendo x fixo. Usamos a regra da cadeia: a derivada de y \mapsto e^{x y} é x e^{x y}. Logo uma primitiva em y é e^{x y}.\n
Portanto,
\int_{y=1}^{3} x e^{x y}\, dy = \Big[e^{x y}\Big]_{y=1}^{y=3} = e^{3x} - e^{x}.
Aqui eu mantive x como parâmetro ao integrar em y.

Passo 5

Agora integramos a expressão resultante em x:
\int_{x=1}^{2} \left(e^{3x} - e^{x}\right) dx.
Usamos a fórmula básica \displaystyle \int e^{a x}\, dx = \frac{1}{a} e^{a x}, onde a é constante. Aplicando termo a termo:
\int e^{3x}\, dx = \frac{1}{3} e^{3x},\qquad \int e^{x}\, dx = e^{x}.
Assim a primitiva é \displaystyle \frac{1}{3} e^{3x} - e^{x}. Avaliando entre x=1 e x=2 obtemos
\Big[\tfrac{1}{3} e^{3x} - e^{x}\Big]_{1}^{2} = \left(\tfrac{1}{3} e^{6} - e^{2}\right) - \left(\tfrac{1}{3} e^{3} - e^{1}\right).

Passo 6

Simplificando a expressão final:
\left(\tfrac{1}{3} e^{6} - e^{2}\right) - \left(\tfrac{1}{3} e^{3} - e\right) = \tfrac{1}{3}\big(e^{6}-e^{3}\big) + \big(e - e^{2}\big).
Podemos deixar assim ou escrever equivalently
\frac{e^{6}-e^{3}}{3} + e - e^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{6}-e^{3}}{3} + e - e^{2}

Exercícios relacionados