Calcule
, se a região de integração é o retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região de integração é o retângulo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
, que depende das variáveis e .\n - A região
é o retângulo com variando de a e variando de a .\n
O que se pede: - Calcular exatamente o valor de
.
Passo 2
Como
é um retângulo, podemos transformar a integral dupla numa integral iterada (a ordem pode ser escolhida). Vou integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Isso é conveniente porque a derivada de
em relação a
traz um fator
, que aparece no integrando, tornando a primitiva simples.\n
Lembrete rápido do que significa : é o elemento de área, que num retângulo corresponde a
(ou
), conforme a ordem escolhida.
Lembrete rápido do que significa
Passo 3
Escrevemos a integral como iterada, integrando
primeiro:
Passo 4
Calculamos a integral interna em
:
precisamos de uma antiderivada de , mantendo
fixo. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Logo uma primitiva em
é
.\n
Portanto,
precisamos de uma antiderivada de
Portanto,
Aqui eu mantive
como parâmetro ao integrar em
.
Passo 5
Agora integramos a expressão resultante em
:
Usamos a fórmula básica
, onde
é constante. Aplicando termo a termo:
Assim a primitiva é
. Avaliando entre
e
obtemos
Passo 6
Simplificando a expressão final:
Podemos deixar assim ou escrever equivalently