Escreva \iint_{Q} f(x, y) d A como uma integral iterada, se a região de integração é o quadrilátero Q no plano x y com vértices (1,0),(1,2),(4,2) e (4,1).

Passo 1

O que o problema pede: escrever \iint_{Q} f(x,y)\,dA como uma integral iterada (ou seja, escolher uma ordem de integração e dar os limites).\n
Informações dadas (os vértices do quadrilátero Q): (1,0), (1,2), (4,2) e (4,1).

Passo 2

Entender a forma de Q e as arestas. Vou ligar os vértices na ordem dada para visualizar o quadrilátero:
  • A aresta entre (1,2) e (4,2) é a reta horizontal \,y=2.
  • A aresta entre (1,0) e (4,1) é uma reta inclinada; vamos achar sua equação. Se a equação tiver a forma y=mx+b, a inclinação é
m=\frac{1-0}{4-1}=\frac{1}{3}.
Como passa por (1,0), temos 0=m\cdot1+b, então b=0. Logo a aresta inclinada é
y=\frac{1}{3}(x-1).
  • As outras duas arestas são verticais em x=1 (entre y=0 e y=2) e em x=4 (entre y=1 e y=2).
Resumindo: para x entre 1 e 4, o limite superior em y é y=2 e o limite inferior é y=\dfrac{1}{3}(x-1). Isso já sugere uma forma \int_{x=1}^{4}\int_{y=\text{baixo}}^{\text{cima}}.

Passo 3

Montando a integral na ordem dy\,dx (primeiro integrar em y, depois em x). Como para cada x\in[1,4] o y vai da reta inferior y=\dfrac{1}{3}(x-1) até a reta superior y=2, a escrita iterada é
\iint_{Q} f(x,y)\,dA=\int_{x=1}^{4}\left(\int_{y=\frac{x-1}{3}}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx.
Explicando o porquê: fixo x; o ponto inferior no segmento inclinado tem coordenada y=\dfrac{x-1}{3} (obtida resolvendo a equação da reta) e o superior é sempre y=2.

Passo 4

Agora vou também apresentar a integral na ordem dx\,dy (primeiro integrar em x). Para isso preciso descrever, para cada y, quais são os valores de x dentro de Q. Observando a figura:
  • Para y entre 0 e 1: a borda esquerda é x=1 (vertical) e a borda direita está na reta inclinada y=\dfrac{1}{3}(x-1). Invertendo essa reta para x em função de y obtemos
x=3y+1.
Então, para y\in[0,1], x varia de 1 até 3y+1.
  • Para y entre 1 e 2: a borda esquerda continua sendo x=1 e a borda direita é x=4 (pois há a aresta vertical em x=4 de y=1 até 2). Então, para y\in[1,2], x varia de 1 até 4.
Perceba que foi necessário dividir em dois intervalos de y porque a abscissa da aresta direita muda de ser dependente de y (para 0\le y\le1) para ser fixa x=4 (para 1\le y\le2).

Passo 5

Montando a integral na ordem dx\,dy com a divisão em dois blocos:
\iint_{Q} f(x,y)\,dA=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=1}^{3y+1} f(x,y)\,dx\right)dy +\int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=1}^{4} f(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui expliquei cada limite: no primeiro termo x vai de 1 até 3y+1 (inversão da reta inclinada), no segundo termo x vai de 1 até 4.

Passo 6

Resumo e dica prática para a prova: se quiser a forma sem separar intervalos use a ordem dy\,dx porque dá um único iterado simples. Se precisar da ordem dx\,dy, lembre-se de verificar se a fronteira direita (ou esquerda) depende de y; se depender, provavelmente será preciso dividir o intervalo em y.

Resposta

\iint_{Q} f(x,y)\,dA=\int_{x=1}^{4}\left(\int_{y=\frac{x-1}{3}}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx
\iint_{Q} f(x,y)\,dA=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=1}^{3y+1} f(x,y)\,dx\right)dy +\int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=1}^{4} f(x,y)\,dx\right)dy

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