Escreva
como uma integral iterada, se a região de integração é o quadrilátero
no plano
com vértices
e
.
Passo 1
O que o problema pede: escrever
como uma integral iterada (ou seja, escolher uma ordem de integração e dar os limites).\n
Informações dadas (os vértices do quadrilátero ):
,
,
e
.
Informações dadas (os vértices do quadrilátero
Passo 2
Entender a forma de
e as arestas. Vou ligar os vértices na ordem dada para visualizar o quadrilátero:
- A aresta entre
e é a reta horizontal . - A aresta entre
e é uma reta inclinada; vamos achar sua equação. Se a equação tiver a forma , a inclinação é
Como passa por
, temos
, então
. Logo a aresta inclinada é
- As outras duas arestas são verticais em
(entre e ) e em (entre e ).
Resumindo: para
entre
e
, o limite superior em
é
e o limite inferior é
. Isso já sugere uma forma
.
Passo 3
Montando a integral na ordem
(primeiro integrar em
, depois em
). Como para cada
o
vai da reta inferior
até a reta superior
, a escrita iterada é
Explicando o porquê: fixo
; o ponto inferior no segmento inclinado tem coordenada
(obtida resolvendo a equação da reta) e o superior é sempre
.
Passo 4
Agora vou também apresentar a integral na ordem
(primeiro integrar em
). Para isso preciso descrever, para cada
, quais são os valores de
dentro de
. Observando a figura:
- Para
entre e : a borda esquerda é (vertical) e a borda direita está na reta inclinada . Invertendo essa reta para em função de obtemos
Então, para
,
varia de
até
.
- Para
entre e : a borda esquerda continua sendo e a borda direita é (pois há a aresta vertical em de até ). Então, para , varia de até .
Perceba que foi necessário dividir em dois intervalos de
porque a abscissa da aresta direita muda de ser dependente de
(para
) para ser fixa
(para
).
Passo 5
Montando a integral na ordem
com a divisão em dois blocos:
Aqui expliquei cada limite: no primeiro termo
vai de
até
(inversão da reta inclinada), no segundo termo
vai de
até
.
Passo 6
Resumo e dica prática para a prova: se quiser a forma sem separar intervalos use a ordem
porque dá um único iterado simples. Se precisar da ordem
, lembre-se de verificar se a fronteira direita (ou esquerda) depende de
; se depender, provavelmente será preciso dividir o intervalo em
.